2.2 Неперервно-детерміновані моделі (d-моделі)

Неперервно-детерміновані моделі від-творюють динаміку (англ. Dynamic) процесу функціювання системи у формі диференціальних рівнянь, які можуть бути звичайними або в часткових похідних. Малі моделі скорочено називають D-моделями.

Процес створення D-моделей в своїй основі має певні фізичні закони, які визначають функціювання системи . На основі таких законів записують математичні співвідношення, які зв’язують між собою екзогенні і ендогенні змінні.

Як приклад, розглянемо методику створення D-моделі механічної системи, яка складається із масивного тіла, пружини і демпфера (рис. 2.1).

Рисунок 2.1 – Механічна система

На рисунку 2.1 k-коефіцієнт жорсткості пружини, H/м;

С – затухання, ; m – маса, кг.

Допустимо, що вхідна дія системи – прикладене зусилля , а вихідною характеристикою системи є її зміщення в напрямку координації осі .

Основним фізичним законом, який лежить в основі функціювання механічної системи є закон збереження кількості руху, який подамо в диференціальній формі

, (2.10)

де – швидкість (векторна величина);

– сили, які діють на систему

Нехтуємо впливом зовнішнього середовища на систему, яке проявляється через тертя і опір повітря.

Оскільки m = const, а вектори швидкості і зусиль колінеарні, то рівняння (2.10) можна замінити скалярним

,

де – сила натягу пружини;

– сила демпфірування;

– швидкість.

Отже, рівняння руху системи матиме такий вигляд

. (2.11)

Рівняння (2.11) перепишемо в дещо іншій формі

. (2.12)

Введемо такі позначення .

Тоді рівняння (2.12) буде таким:

, (2.13)

де .

Безрозмірна величина в формулі (2.13) носить назву коефіцієнта затухання системи. Якщо її значення лежить в межах 0< <1, то в системі виникають згасаючі коливання.

Розглянемо інший приклад, коли системою є електричне коло, яке складається із активного опору , ємності і індуктивності (рис. 2.2). До входу електричної системи прикладена напруга U₁, а вихідною характеристикою системи є напруга U₂ на виході еклектичного кола.

У відповідності з теорією електричних кіл

U₁=U_L+U_R+U₂, (2.14)

де U_L – напруга на індуктивності; U_R – напруга на опорі;

Для того щоб отримати математичну модель системи необхідно із рівняння (2.14) вилучити проміжні змінні U_L і U_R.. Відомо, що

,

де і – струм в електричному колі.

З інших сторони струм і протікає через ємність С і тому має місце співвідношення

.

Тому .

Отже,

.

Введемо такі позначення :

.

Тоді

. (2.15)

Як і в механічній системі при в електричній системі виникають згасаючі коливання.

Аналіз математичних моделей (2.14) і (2.15), які описують системи різної фізичної природи, показує, що вони мають однакові структури, різниця лише в значеннях внутрішніх параметрів систем. В цьому і проявляється принцип аналогії, коли різні системи, в яких протікають різні фізичні можуть мати однакові за структурою математичні моделі. Це означає, що процеси функціювання одних систем можуть бути вивчені через поведінку інших систем з відмінною від перших фізичною природою. Наприклад, закон руху механічної системи можна вивчити, спостерігаючи зміну напруги на виході електричної системи, за умови, що величини у і певним чином відмасштабовані.