2 Побудова імітаційних моделей

2.1 Основні принципи побудови математичних моделей

Вихідною інформацією при побудові математичних моделей є дані про призначення і умови функціювання системи, що досліджується або проектується. Така інформація визначає мету моделювання системи і допомагає сформулювати основні вимоги до моделі. Степінь абстрагування (спрощення) залежить від характеру задач, які стоять перед проектантом системи.

При моделюванні складних систем важливо подати її у вигляді певного моделюючого алгоритму (графічного образу), який полегшує створення математичної моделі і дає можливість всю систему розглядати як сукупність простіших елементів, які взаємодіють між собою і навколишнім середовищем.

Моделюючий алгоритм (математичну схему) можна визначити як проміжну ланку при переході від словесного до формального опису функціювання системи з врахуванням дії навколишнього середовища.

Кожна конкретна система (елемент системи) характеризується сукупністю властивостей, під якими розуміють величини, що відтворюють поведінку реальної системи і враховують умови її функціювання при взаємодії із зовнішнім середовищем .

Модель системи відтворює у вигляді математичних співвідношень взаємозв’язок між певними величинами, які враховують як дію зовнішнього середовища, так і умови функціювання самої системи. Множина таких величин утворює наступні підмножини: сукупність вхідних дій на систему

(2.1)

де під вхідними діями розуміють певні фізичні величини, за допомогою яких можна змінити стан системи;

сукупність дій зовнішнього середовища

(2.2)

сукупність внутрішніх (власних) параметрів системи

(2.3)

сукупність вихідних характеристик великої системи

(2.4)

В загальному випадку , , і є елементами підмножин, що не перетинаються, і можуть бути як стохастичними, так і детермінованими величинами.

При моделюванні системи вхідні дії, дії зовнішнього середовища і внутрішні параметри системи є незалежними (екзогенними) величинами, які відповідно можна подати у векторній формі :

Вихідні характеристики (величини) системи (2.4) є залежними (ендогенними) змінними і також можуть бути подані у векторній формі .

Процес функціонування системи в загальному випадку характеризується оператором , який перетворює вхідні величини у вихідні, у відповідності із співвідношенням

. (2.5)

Залежність (2.5) називається законом функціювання системи і позначається символом . В загальному випадку закон функціювання системи може бути поданий у вигляді функції, функціоналу, логічних умов в алгоритмічній і табличній форах або у вигляді словесного правила відповідності.

Іншим важливим поняттям, яке необхідне для опису системи є алгоритм функціювання , під яким розуміють метод отримання вихідних характеристик системи з врахуванням вхідних дій, дій зовнішнього середовища і власних параметрів системи. Один і той же закон функціювання системи може породжувати сукупність алгоритмів функціювання .

Співвідношення (2.5) в загальному випадку характеризує поведінку системи в часі , тобто відтворює його динамічні властивості. Тому математичні моделі такого типу носять назву динамічних моделей системи.

В тому випадку, коли вихідні характеристики системи залишаються постійними, то співвідношення (2.5) задає статичну модель об’єкта

(2.6)

Для характеристики стану системи часом буває недостатньо мати лише вихідні величини y_j. Найповніше стан системи описується за допомогою змінних . Тоді стан системи можна характеризувати вектором , який для різних моментів часу приймає певні значення.

Якщо процес функціювання системи розглядати як послідовну зміну її станів , то останні можна інтер-претувати як координати в -вимірному евклідовому просторі. А сам простір носить назву фазового простору, тобто фазовий простір утворений всіма можливими станами системи .

Стан системи в момент часу повністю визначається початковими умовами , вхідними діями , діями зовнішнього середовища і внутрішніми параметрами за допомогою двох векторних рівнянь

, (2.7)

. (2.8)

Рівняння (2.7) за початковим станом і екзогенними змінними визначає вектор-функцію , а друге за отриманим значенням – ендогенні змінні системи .

Таким чином, послідовність рівнянь “вхід-стан-вихід” дає можливість визначити вихідні характеристики системи

(2.9)

Якщо математичний опис системи не вміщує величини , або її вплив на функціювання системи нехтується, то модель системи носить назву детермінованої. Очевидно, що детермінована модель є частковим випадком стохастичної моделі.

Можна зробити висновок, що при дослідженні процесу функціювання системи в неперервному часі, коли не враховуються випадкові величини , використовують детерміновані моделі, які можуть бути у вигляді диференціальних, інтегральних, інтегродиферен-ціальних, алгебраїчних та інших рівнянь, а для опису систем, які функціонують в дискретному часі – кінцеві автомати і кінцево-різницеві схеми.

Використання стохастичних моделей для опису систем з дискретним часом приводить до ймовірносних автоматів, а для подання систем з неперервним часом – систем масового обслуговування.

Таким чином, побудова математичних моделей процесів функціювання систем опирається на такі основні принципи:

- неперервно-детермінований (диференціальні рівняння);

-дискретно-детермінований (кінцеві автомати, різницеві схеми);

- неперервно-стохастичний (системи масового обслуговування);

-дискретно-стохастичний (ймовірності автомати);

- узагальнений або універсальний (агрегатні системи).

Узагальнений принцип побудови математичних моделей дає можливість створити агрегатні моделі (схеми) шляхом розбиття складної системи на окремі елементи (підсистеми) із збереженням зв’язків між ними. Агрегатні моделі відносяться до найбільш універсальних і дають можливість описувати складні системи на основі системного підходу.