5.2.2 Формула Литтла

У теорії масового обслуговування важливе значення має формула Литтла (закон збереження стаціонарної черги), яка дозволяє обчислювати середню кількість вимог, що знаходяться в системі. Щоб отримати формулу Литтла, розглянемо СМО загального виду, яку зображено на рисунку 5.1 у вигляді «чорного ящика», і будемо спостерігати за її вхідними та вихідними потоками вимог.

Рисунок 5.1 – СМО загального виду

Процес α(t) – деякий випадковий процес надходження вимог до системи за проміжок часу (0, t). Процес δ(t) визначає вихідний потік вимог із системи на цьому ж проміжку. Відобразимо обидва випадкових процеси у вигляді графіків, наведених на рисунку 5.2.

Рисунок 5.2 – Вхідні та вихідні випадкові процеси в СМО

Кількість вимог, що знаходяться в системі в будь-який момент часу t, можна знайти як N(t) = α(t) – δ(t).

Заштрихована площа між двома кривими γ(t) визначає загальну роботу (добуток кількості вимог на час перебування їх у СМО) на проміжку часу (0, t), яка вимірюється у вимогах за секунду.

Інтенсивність надходження вимог до СМО за час спостереження (0, t) можна визначити як

, (5.7)

а середній час перебування вимог у системі за той же проміжок часу як

. (5.8)

Середня кількість вимог, що перебували в системі за проміжок часу (0,t)

. (5.9)

Використовуючи вирази (5.7) – (5.9), отримаємо та ку формулу

(5.10)

Для того щоб СМО була в стані рівноваги, потрібно, щоб середній час перебування вимог у системі був більшим за середній час їх обслуговування. Припустимо, що для СМО, яка розглядається, і , де λ – інтенсивність надходження, а Т— середній час перебування вимог у системі. У цьому випадку існує також межа для середньої кількості вимог, які знаходяться в системі, тобто .

Тоді з формули (5.10) отримаємо формулу Литтла у такому вигляді:

Отже, для будь-якого закону розподілу проміжків часу між двома моментами надходження вимог і будь-якого розподілу часу їх обслуговування, кількості пристроїв для обслуговування та дисципліни обслуговування середню кількість вимог, що знаходяться в СМО, визначають через інтенсивність надходження та середній час перебування вимог у системі.

Інтуїтивне доведення формули Литтла базується на тому, що кількість вимог у системі в момент надходження нової вимоги, буде такою ж, як і в момент, коли вимога залишає систему. Це свідчить про те, що СМО перебуває в стані рівноваги або сталому стані, тобто вимоги не можуть знаходитись у системі нескінченно довго і завжди залишають її. Як бачимо, під час виведення формули Литтла ніяких обмежень на тип СМО немає. Можна, наприклад, вважати, що СМО складається тільки з однієї черга або з одного пристрою для обслуговування.

5.2.3 Одноканальні системи масового обслуговування

Розглянемо одноканальну СМО з одним пристроєм для обслуговування S і чергою до нього q, яку зображено на рисунку 5.3.

Рисунок 5.3 – СМО з одним пристроєм для обслуговування

Якщо позначити через ω середній час перебування вимоги в черзі, то з формули Литтла можна отримати середню кількість вимог у черзі:

Якщо позначити середній час обслуговування вимоги в пристрої через і розглядати СМО як таку, що має один пристрій, то, використовуючи формулу Литтла, можна знайти середню кількість вимог у пристрої для обслуговування:

Для СМО з одним пристроєм для обслуговування завжди має місце рівність

,

де Т – середній час перебування вимоги в системі.

Коефіцієнт завантаження пристрою для обслуговування ρ можна визначити:

ρ – це ймовірність того, що під час надходження вимоги до системи пристрій буде зайнято.

Найпростіша одноканальна система МО є модель такого типу:

Граф станів

2 стани

S₀ – канал вільний (очікування)

S₁ – канал зайнятий (обслуговування)

P₀ – ймовірність, що канал вільний

Р₁ – ймовірність, що канал зайнятий.

Необхідно визначити абсолютну і відносну пропускні здатності.

Складемо диференціальне рівняння Колмогорова для визначення ймовірностей станів:

(5.11)

P₀(t) + P₁(t) = 1.

Розв’язок системи має вигляд:

(5.12)

Для одноканальної системи Р₀ – ймовірність того, що в момент t канал вільний і заявка, що надійшла в цей момент буде обслужена, тобто це є відносна пропускна здатність q = P₀.

При t → ∞ досягається встановленого режиму, тому

. (5.13)

Знаючи відносну пропускну здатність легко знайти абсолютну – середнє число заявок, які може обслужити СМО за одиницю часу:

(5.14)

Ймовірність відмов = Р₁

(5.15)

Приклад 5.1.

Нехай одноканальна СМО – це процесор.

Інтенсивність потоку задач – λ = 1,0 в хв.

Середній час обслуговування – 1,8 хв.

Потік заявок і потік обслуговування – найпростіші.

Треба визначити в установленому режимі:

• відносну пропускну здатність;

• абсолютну пропускну здатність;

• ймовірність відмов.

Порівняти фактичну пропускну здатність СМО з номінальною, яка була б, якщо б кожна задача обслуговувалась точно 1,8 хв., і задачі йшли одна за другою без перерви.

1. Визначаємо інтенсивність потоку обслуговування

2. Обчислюємо відносну пропускну здатність

Величина q означає, що в установленому режимі система буде обслуговувати ≈ 35% задач.

3. Абсолютна пропускна здатність

Система обслуговує в середньому 0.356 задач в хв.

4. Р_від = 1 – q = 1 – 0.356 = 0.644

5. Визначимо номінальну пропускну здатність

(зад/хв.)

Бачимо, що А_ном в 1.5 рази більша, ніж фактична пропускна здатність, обчислена з врахуванням випадкового характеру потоку заявок і потоку обслуговування.