4.8.4 Оцінювання дисперсії

Для оцінювання дисперсії випадкової величини можна використати формулу:

де S² — оцінка дисперсії випадкової величини х.

4.8.5 Оцінювання кореляційного моменту

Для обчислення оцінки кореляційного моменту можна використовувати формулу

При обчисленнях за цією формулою теж доцільно змінити послідовність дій.

4.9 Визначення кількості реалізацій під час моделювання випадкових величин

Точність оцінок параметрів системи, які отримують під час обробки результатів моделювання, у першу чергу залежить від кількості випробувань N. Слід враховувати, що обсяг вибірки N завжди обмежений, тому вищезгадані оцінки матимуть різні похибки і дисперсії.

Якщо треба оцінити значення деякого параметра а за результатами моделювання x_i, то за його оцінку слід брати величину х_і, яка є функцією від усіх значень х_i. Статистична оцінка x також є випадковою величиною, тому вона буде відрізнятись від х_i., тобто

де ε - точність або похибка оцінки. Імовірність того, що ця нерівність виконується, позначимо через α:

У теорії ймовірностей ε — це довірчий інтервал для а, довжина якого фактично дорівнює 2ε, а α: — довірчий рівень, або надійність оцінки. Вираз (4.13) можна застосувати для визначення точності результатів статистичних випробувань.

4.9.1 Оцінювання ймовірності

Припустимо, що метою моделювання є оцінювання ймовірності настання деякої події А, яка визначає стан системи. У кожній з N реалізацій процесу настання події А є випадковою величиною ξ, що набуває значення x₁ = 1 з імовірністю ρ і x₂ = 0 з імовірністю 1-р. Тоді можна визначити математичне сподівання і дисперсію відповідно за формулами

Μ[ξ]=x₁ρ+x₂(1-ρ)=ρ, (4.14)

D [ξ] = (x₁ - Μ [ξ])²ρ + (x₂ - Μ [ξ])² (1- ρ)=ρ (1- ρ).

(4.15)

Як оцінку р використовують частість настання події А. Ця оцінка є незміщеною, спроможною та ефективною. За умови, що N задано, для отримання цієї оцінки достатньо накопичувати т:

де x_i — настання події А в реалізації і.

За формулами (4.14), (4.16) визначимо вибіркове математичне сподівання

Μ[m/N] = ρ і дисперсію D[m/Ν] =ρ(1-ρ)/(Ν-1).

Згідно з центральною граничною теоремою (у даному випадку її можна взяти у вигляді теореми Хінчина) випадкова величина m/N буде мати розподіл, близький до нормального (рис. 4.8). Тому для кожного рівня достовірності α з таблиць нормального розподілу можна

знайти таку величину t_α, при якій точність обчислюватиметься за формулою

Якщо α = 0,05, то t_a = 1,96, а якщо α = 0,003, то t_α= 3.

Підставимо у формулу (4.17) вираз дисперсії . Звідси

(4.18)

Рисунок 4.8 - Функція нормального розподілу для побудови довірчого інтервалу

З формули (4.18) видно, що при ρ = 1 або ρ = 0, кількість реалізацій, які необхідно провести для підтвердження того, що подія А настає (або ні), дорівнює одиниці. Але оскільки ймовірність ρ заздалегідь невідома, провадять випробування (Ν = 50 ... 100), оцінюють частість m/Ν і підставляють її значення у вираз (4.18) замість р, після чого визначають остаточну кількість реалізацій. Графік залежності числа реалізацій для α = 0,05 і різних значень р, якщо ε = 0,05, наведено на рис. 4.9.

Рисунок 4.9 - Залежність числа реалізацій від значень імовірності