4.5.5 Нормальний розподіл

Випадкова величина X має нормальний розподіл (розподіл Гаусса), якщо її щільність

де т — математичне сподівання, а σ — середньоквадратичне відхилення розподілу ймовірностей описується виразом

Функція розподілу нормально розподіленої величини X має вигляд

Для моделювання випадкової величини з нормальним законом розподілу безпосередньо скористатися методом оберненої функції не можна, оскільки немож­ливо аналітично виконати перетворення виду X = F^-1(r). Тому для моделювання слід скористатися методом згорток.

Метод згорток базується на центральній граничній теоремі — одному із найбільш видатних результатів теорії ймовірностей: за широких припущень відносно розподілів суми великої кількості взаємно незалежних малих випадкових величин має місце розподіл, який близький до нормального. Метод згорток передбачає зображення випадкової величини як суми незалежних однаково розподілених випадкових величин зі скінченними математичним сподіванням і дисперсією.

Найпростіший метод отримання значення випадкової величини, що має заданий нормальний розподіл, передбачає виконання таких кроків. Спочатку формують послідовність r_i (і = 1,n) незалежних, рівномірно розподілених у інтервалі [0, 1] величин і обчислюють суму 12 випадкових чисел, потім віднімають число 6. Величина п= 12 є хорошим наближенням до нормально розподіленої випадкової величини з нульовим математичним сподіванням m_z = 0 і одиничним середньоквадратичним відхиленням σ_ζ = 1. Нормальний розподіл з параметрами т_г - 0 та σ_ζ = 1 називається стандартним.

Недоліком розглянутих вище методів моделювання є те, що значення функції нормального розподілу, які лежать за межами т_х ± σ_х, суттєво відрізняються від точних значень. Щоб зменшити загальну похибку моделювання, треба використовувати більш точні методи отримання значень функції нормального розподілу. Ці методи базуються на такій властивості. Якщо X_t і Х₂ є незалежними нормально розподіленими випадковими величинами з нульовим математичним сподіванням і одиничним середньоквадратичним відхиленням, то величина кута між віссю абсцис і вершиною випадкового вектора з координатами {х\, х₂) має рівномірний розподіл і не залежить від довжини вектора ( ) ( рис. 4.7).

Х2

Рисунок 4.7 - Зображення вектора

Для моделювання нормального розподілу

Квадрат довжини вектора в цьому випадку має розподіл χ² з двома ступеня­ми свободи і моделюється як окремий випадок показового розподілу з параметром λ = 1/2.

Існує два методи моделювання нормального розподілу, які використовують цю властивість:

Метод Бокса-Мюллера (Box-Muller). Генеруємо пару нормально розподілених чисел з т_х = 0 і σ_χ = 1 за допомогою двох випадкових чисел r_t і г₂:

Х₁ = - 2 In r₁ cos (2π r₁); χ₂ = - 2 In r₂ cos (2π r₂).

Таким чином, отримуємо два числа Х1 і х2 нормальним розподілом. Метод Марсальї-Брея (Marsaglia-Bray). Існує більш швидка модифікація цього методу. Генерують два випадкових числа г\ і г₂, вважаючи, що ν₁ = -1 + 2r_1; v₂ = -1 + 2r₂, обчислюють суму S = v₁ + v₂. Якщо S > 1, то повторюють процедуру, якщо S < 1, то одержують два нормально розподілених числа:

,

Щоб одержати за цим методом 100 пар нормально розподілених чисел, потрібно генерувати 127 пар випадкових чисел. Це простий та швидкий метод, у разі його застосування більша частина часу роботи алгоритму витрачається на обчислення логарифму.