3.4 Основні критерії перевірки випадкових спостережень а. Критерій “хі-квадрат”

Критерій “хі-квадрат” (х²-критерій), можливо найвідоміший з усіх статистичних критеріїв. Він є основним методом, що використовується в поєднанні з іншими критеріями. Перш ніж розглядати ідею в цілому, проаналізуємо приклад застосування х²-критерію до кидання гральних кубиків. Використаємо два “правильні” гральні кубики (кожен з яких незалежно допускає випадіння значень 1,2,3,4,5 або 6 з рівною імовірністю.) В наступній таблиці дана ймовірність отримання певної суми s при одному киданні гральних кубиків.

Значення 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Ймовірність

Наприклад, величина 4 може бути отримана трьома способами: 1+3,2+2,3+1; це складає із 36 можливих результатів.

Якщо кидати гральний кубик n разів, то в середньому ми отримаємо величину s приблизно np_s разів. Наприклад, при 144 киданнях величина 4 випадає біля 12 разів. В наступній таблиці показано, які результати справді отримані при 144 киданнях гральних кубиків.

Значення 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Спостережуване число,

Y_s = 2 4 10 12 22 29 21 15 14 9 6

Очікуване число, np_s = 4 8 12 16 20 24 20 16 12 8 4

Відмітимо, що у всіх випадках спостережуване число відрізняється від очікуваного числа. Справді, результати випадкового кидання гральних кубиків навряд чи завжди будуть появлятись саме з правильною частотою. Існує 36¹⁴⁴ можливих послідовностей 144 кидань, і всі вони рівно можливі. Одна з таких послідовностей складається із всіх двійок (“зміїне око”), і кожен хто викинув 144 зміїні ока підряд, буде впевнений, що кубики обтяжені. Незважаючи на це послідовність усіх двійок є такою ж ймовірною, як і будь яка друга послідовність, якщо точно визначити результат кожного кидання кожного кубика.

В наведеному вище прикладі цілком природно розглянути квадрати різностей між спостережуваними числами Y_s і очікуваними числами np_s. Можна скласти їх, отримавши

(3.3)

Поганий набір гральних кубиків привів би до відносно великого значення V, а для даного значення V можна сказати наступне: “Чому рівна ймовірність таких великих значень V, якщо використовувати “правильні” гральні кубики?” Якщо ця ймовірність дуже мала, наприклад , ми будемо знати що тільки біля одного разу із ста “правильні” гральні кубики,будуть давати результати настільки віддалені від очікуваних значень, що виникають певні підстави для підозри (Пам’ятаємо, що ті ж самі хороші гральні кубики будуть давати таке велике значення V приблизно в одному випадку із ста, так що передбачуваним особам прийдеться повторювати експеримент, коли більші значення V є частковими)

В статистиці V в (3.3) доданках і приписується рівна вага незважаючи на те що напевно буде більше ніж , так як 7 появляється приблизно в 7 разів частіше ніж 2. Виявляється що “правильна” статистика по крайній мірі статистика яка як доказано найбільш важлива, буде приписувати тільки ваги , і необхідно змінити (3.3) наступним чином:

(3.4)

Ця статистика називається статистикою “хі-квадрат” спостережуваних значень Y₂ ,… Y₁₂ при киданні гральних кубиків. Для даних із таблиці (2) отримуємо, що

Тепер виникає важливе запитання: “Чи буде незвичайно великим значенням для V при наших припущеннях?” Перш ніж відповісти на нього, розглянемо як застосовується метод “хі-квадрат” в загальних ситуаціях. Припустимо, що кожне спостереження може належати до одної із k категорій. Проводимо n незалежних спостережень. Це означає що результат одного спостереження абсолютно не впливає на результат іншого спостереження. Нехай p_s – ймовірність того, що кожне спостереження відноситься до категорії s і нехай Y_s – число спостережень, яке дійсно відноситься до категорії s. Створимо статистику:

(3.5)

В прикладі, що наведений вище, існує 11 можливих результатів кожного кидання гральних кубиків, тобто k=11

Зводячи в квадрат в (6) і враховуючи той факт, що

(3.6)

отримуємо формулу:

(3.7)

яка значно спрощує вирахування V.

Повернемось до запитання: “Чому рівне прийняте значення V?” Його можна визначити з допомогою таких таблиць, як таблиця 1, яка дає значення “х²-розподілу з υ ступенями свободи” для різних значень υ. Використовуємо рядки таблиці з υ=k-1 так як число ступенів свободи дорівнює k-1, що на одиницю менше, ніж число категорій. Тому треба рахувати, що число ступенів свободи дорівнює k-1. Ці аргументи не є строгими, але вони підтверджуються теоретично. Якщо в таблиці вибрати число х, що стоїть на υ-рядку і в стовпчику p, то “ймовірність того, що значення V в (3.7) буде менше або рівне х, приблизно рівне р, якщо n достатньо велике”.

	p=1%	p=5%	p=25%	p=50%	p=75%	p=95%	p=99%
υ=1	0.0002	0.00393	0.1015	0.455	1.323	3.841	6.635
υ=2	0.0201	0.1026	0.5754	1.386	2.773	5.991	9.210
υ=3	0.1148	0.3518	1.213	2.366	4.108	7.815	11.34
υ=4	0.2971	0.7107	1.923	3.357	5.385	9.488	13.28
υ=5	0.5543	1.1455	2.675	4.351	6.626	11.07	15.09
υ=6	0.8721	1.635	3.455	5.348	7.841	12.59	16.81
υ=7	1.239	2.167	4.255	6.346	9.037	14.07	18.48
υ=8	1.646	2.733	5.071	7.344	10.22	15.51	20.09
υ=9	2.088	3.325	5.899	8.343	11.39	16.92	21.67
υ=10	2.558	3.940	6.737	9.342	12.55	18.31	23.21
υ=11	3.053	4.575	7.584	10.34	13.70	19.68	24.72
υ=12	3.571	5.226	8.438	11.34	14.85	21.03	26.22
υ=15	5.229	7.261	11.04	14.34	18.25	25.00	30.58
υ=20	8.260	10.85	15.45	19.34	23.83	31.41	37.57
υ=30	14.95	18.49	24.48	29.34	34.80	43.77	50.89
υ=50	29.71	34.76	42.94	49.33	56.33	67.50	76.15

В певній мірі добре, що для використання таблиць немає значення, чому рівні n і ймовірність p_s. Тільки число υ=k-1 впливає на результат. Треба відмітити, що значення таблиці 1 це тільки наближені значення: справа в тому, що в ній наведені значення х²-розподілу, які є граничним розподілом випадкової величини V формулі (3.5). Тому табличні значення наближені до реальних тільки при великих n. Наскільки великими повинні бути n? Емпіричне правило говорить: треба взяти n настільки великим, щоб всі значення величини були більші або рівні 5. Проте краще брати набагато більше n, щоб отримати надійний критерій. В приведеному вище прикладі n=144, np₂ дорівнювало тільки 4 і емпіричне правило було порушене.

Питання про правильний вибір n достатньо складне. Якщо гральні кубики дійсно не симетричні, то це буде проявлятись все більше і більше при зростанні n. Але при великих значеннях n має місце тенденція до згладжування локальної невипадкової поведінки, коли блоки чисел із строгим зміщенням ідуть за блоками чисел з протилежним зміщенням. При реальному киданні гральних кубиків згладжування локальної невипадкової поведінки можна не боятися так як одні і ті ж гральні кубики використовуються під час всього експерименту, але випадковість ймовірних чисел, що генеруються комп’ютером може досить часто демонструвати такі аномалії. Можливо x²-критерій потрібно було б застосовувати для кількох різних значень n. У будь якому випадку, значення n повинно було бути по можливості великим.