Робота 3
Завдання.
Використовуючи метод сіток, знайти
розв'язок змішаної задачі для
диференціального рівняння параболічного
типу
(рівняння теплопровідності) при заданих
початкових умовах
,
,
,
де
.
Розв'язання провести при
для
з чотирма знаками, вважаючи
.
№1. |
|
№2. |
|
№3. |
|
№4. |
|
№5. |
|
№6. |
|
№7. |
|
№8. |
|
№9. |
|
№10. |
|
№11. |
|
№12. |
|
№13. |
|
№14. |
|
№15. |
|
№16. |
|
№17. |
|
№18. |
|
№19. |
|
№20. |
|
№21. |
|
№22. |
|
№23. |
|
№24. |
|
№25. |
|
№26. |
|
№27. |
|
№28. |
|
№29. |
|
№30. |
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Зразок виконання завдання
|
Параболічне рівняння розв'язується
методом сіток поступовим переходом від
значень функції
до значень
;
причому
,
де
.
Обчислення проводяться за формулою:
.
Усі розрахунки наведено в таблиці:
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0 |
0 |
0,12 |
0,39 |
0,60 |
0,75 |
0,84 |
0,87 |
0,84 |
1 |
0,0017 |
0,1233 |
0,3800 |
0,5900 |
0,7400 |
0,8300 |
0,8600 |
0,84 |
2 |
0,0033 |
0,1267 |
0,6372 |
0,5800 |
0,7300 |
0,8200 |
0,8517 |
0,84 |
3 |
0,0050 |
0,1300 |
0,3659 |
0,5704 |
0,7200 |
0,8103 |
0,8445 |
0,84 |
4 |
0,0067 |
0,1333 |
0,3607 |
0,5612 |
0,7101 |
0,8010 |
0,8380 |
0,84 |
5 |
0,0083 |
0,1367 |
0,3562 |
0,5526 |
0,7004 |
0,7920 |
0,8322 |
0,84 |
6 |
0,01 |
0,1400 |
0,3524 |
0,5445 |
0,6910 |
0,7834 |
0,8268 |
0,84 |
Робота 4
Завдання.
Використовуючи метод сіток, знайти
розв'язок змішаної задачі для рівняння
коливання струни
з початковими умовами
,
,
і крайовими умовами
,
,
розв'язування виконати з кроком
,
визначаючи значення функції
з чотирма десятковими знаками, причому
.
№1 |
|
№2 |
|
№3 |
|
№4 |
|
№5 |
|
№6 |
|
№7 |
|
№8 |
|
№9 |
|
№10 |
|
№11 |
|
№12 |
|
№13 |
|
№14 |
|
№15 |
|
№16 |
|
№17 |
|
№18 |
|
№19 |
|
№20 |
|
№21 |
|
№22 |
|
№23 |
|
№24 |
|
№25 |
|
№26 |
|
№27 |
|
№28 |
|
№29 |
|
№30 |
|
Зразок виконання завдання
|
,
,
,
.
При розв'язуванні скористаємося співвідношенням
,
де
При цьому
,
а для визначення
можна використати один з можливих
прийомів, наприклад,
,
причому
,
.
Крім того,
;
.
Розв'язування за зазначеними формулами зручно виконувати в таблиці, що і є розв'язком даної задачі.
Порядок заповнення таблиці:
1.
Обчислюємо значення
при
і записуємо їх у перший рядок, (він
відповідає значенню
).
Обчислюємо значення
при
і записуємо їх у перший стовбець таблиці,
(він відповідає значенню
).
xi tj |
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
1,0 |
0 |
0 |
0,198 |
0,384 |
0,546 |
0,672 |
0,750 |
0,768 |
0,714 |
0,576 |
0,342 |
0 |
0,1 |
0,005 |
0,2381 |
0,4247 |
0,5858 |
0,7092 |
0,7677 |
0,7942 |
0,7315 |
0,5825 |
0,3354 |
0 |
0,2 |
0,02 |
0,2317 |
0,4399 |
0,5879 |
0,6815 |
0,7534 |
0,7312 |
0,6627 |
0,4909 |
0,2405 |
0 |
0,3 |
0,045 |
0,2218 |
0,3949 |
0,5356 |
0,6321 |
0,6450 |
0,6219 |
0,4906 |
0,3207 |
0,1555 |
0 |
0,4 |
0,08 |
0,2082 |
0,3175 |
0,4391 |
0,4991 |
0,5006 |
0,4044 |
0,2799 |
0,1552 |
0,0802 |
0 |
0,5 |
0,125 |
0,1757 |
0,2524 |
0,2810 |
0,3076 |
0,2585 |
0,1586 |
0,6090 |
0,0394 |
-0,0003 |
0 |
Заносимо значення
в останній стовбець таблиці, (він
відповідає значенню
).Обчислюємо значення за формулою , де
і
беруться з першого рядка таблиці, а
;
;
.
Результати записуємо в другий рядок
таблиці.
5. Обчислюємо значення
в наступних рядках за формулою
,
де значення
беруться з двох попередніх рядків
таблиці.