Робота 2

Завдання.

Використовуючи метод сіток, знайти розв'язок диференціального рівняння Лапласа з заданими початковими умовами; крок . Уточнення розв'язку зробити до сотих частин за допомогою процесу Лібмана.

№1	(Г),	.
№2	(Г),	.
№3	(Г),	.
№4	(Г),	.
№5	(Г),	.
№6	(Г),	.
№7	(Г),	.
№8	(Г),	.
№9	(Г),	.
№10	(Г),	.
№11	(Г),	.
№12	(Г),	.
№13	(Г),	.
№14	(Г),	.
№15	(Г),	.
№16	(Г),	.
№17	(Г),	.
№18	(Г),	.
№19	(Г),	.
№20	(Г),	.
№21	(Г),	.
№22	(Г),	.
№23	(Г),	.
№24	(Г),	.
№25	(Г),	.
№26	(Г),	.
№27	(Г),	.
№28	(Г),	.
№29	(Г),	.
№30	(Г),	.

Зразок виконання завдання (Г); .

1. Використовуючи симетрію заданих початкових умов, побудуємо розв'язок тільки у чверті. Візьмемо крок і складемо таблицю значень і :

	0	1	2	3	4
	3	2,90	2,60	1,98	0

Рис.7

На рисунку хрестиками позначено граничні вузли, кружечками – внутрішні, точки - точки, які належать межі Г області .

Обчислимо значення функції на межі:

; ,

; ,

; ,

; ,

; ,

; .

Для визначення початкових значень функцій у внутрішніх точках складемо систему рівнянь, що містять ці значення. Кожне рівняння отримується прирівнюванням значення функції у внутрішній точці середньому арифметичному чотирьох значень функції в сусідніх точках:

, , , , , , , , , , .

Розв'язавши цю систему, одержимо , , , , , , , , , , .

Знайдені значення функції дозволяють скласти шаблон №1, у якому внутрішні значення відповідають знайденим, а граничні одержуються в результаті уточнення попередніх граничних значень за формулою лінійної інтерполяції

,

де – вузлова гранична точка; – найближча до точка, що лежить на межі; – найближча до вузлова точка, що лежить всередині області; – відстань між точками і , узята зі знаком плюс, якщо точка лежить всередині області, і зі знаком мінус, якщо вона лежить поза областю.

У даному прикладі маємо:

; ; ; ; ; ; ; ; ; .

№1.
1,5	1,94	2,43
1,91	2,05	2,10	2,49
2,05	2,11	2,18	2,34	2,40
2,11	2,13	2,19	2,28	2

Процес Лібмана полягає в уточненні значень, що входять у шаблон №1. Кожний наступний шаблон одержується з попереднього наступним чином: значення функції у внутрішніх точках дорівнюють середньому арифметичному чотирьох сусідніх значень попереднього шаблона, а значення функції в граничних точках знаходяться за формулою лінійної інтерполяції, яка вже використовувалася при одержанні шаблона №1. Ці уточнення проводяться до тих пір, поки два послідовних шаблони не збіжаться з заданою точністю. У результаті обчислень одержимо наступну послідовність шаблонів:

№2.						№3.
1,5	1,94	2,31				1,5	1,94	2,33
1,91	2,02	2,29	2,49			1,90	2,06	2,25	2,49
2,06	2,10	2,18	2,34	2,40		2,05	2,10	2,23	2,32	2,41
2,09	2,13	2,19	2,22	2		2,10	2,12	2,18	2,22	2

№4.						№5.
1,5	1,94	2,31				1,5	1,94	2,33
1,92	2,05	2,28	2,49			1,91	2,06	2,26	2,49
2,05	2,12	2,21	2,34	2,40		2,06	2,11	2,23	2,33	2,41
2,09	2,12	2,20	2,20	2		2,09	2,14	2,19	2,22	2

№6.						№7.
1,5	1,94	2,31				1,5	1,94	2,32
1,92	2,06	2,28	2,49			1,92	2,06	2,27	2,49
2,06	2,12	2,22	2,34	2,40		2,06	2,12	2,23	2,33	2,41
2,10	2,13	2,20	2,21	2		2,10	2,20	2,22	2,22	2

№8.
1,5	1,94	2,32
1,92	2,06	2,27	2,49
2,06	2,12	2,23	2,33	2,41
2,10	2,13	2,20	2,22	2

Шаблон №8 є відповіддю.