2.2. Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики
Случайная величина Х, для которой функция распределения вероятностей F(x) непрерывна , называется непрерывной.
Плотностью
распределения вероятностей
непрерывной случайной величины X
называют функцию
− первую производную от функции
распределения
:
Свойства плотности распределения
1. Плотность распределения – неотрицательная функция:
.
2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равна определённому интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b:
3. Несобственный
интеграл от плотности распределения в
пределах от
до
равен единице:
Теорема. Функция
распределения непрерывной случайной
величины связана с плотностью распределения
следующим равенством:
.
Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Математическим
ожиданием непрерывной случайной величины
X
с плотностью вероятности
называют определённый
интеграл
если
возможные значения случайной величины
принадлежат отрезку
,
то
Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата её отклонения от среднего значения.
Если возможные значения случайной величины Х принадлежат всей оси Оx, то
.
Если возможные значения X принадлежат отрезку , то
.
Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и для величины дискретной, равенством
.
Пример 2.5. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения
Требуется: а) найти
функцию плотности распределения
;
б) найти математическое ожидание
,
дисперсию
и среднее квадратическое
отклонение
;
в) построить
графики функций
и
;
г) найти
.
Решение: а) по
определению функции плотности вероятности
б) для непрерывной случайной величины
в)
Рисунок 2.2 − Графики функций F(x ) и f(x)
г)
для вычисления вероятности попадания
непрерывной случайной величины в
интервал
можно применить одну из формул:
.
Применим первую формулу
.
Пример 2.6. Случайная величина задана плотностью распределения:
Требуется: а) найти коэффициент C; б) функцию распределения ; в) построить графики функций и .
Решение: а) Плотность распределения должна удовлетворять условиям:
;
,
тогда
Так как
,
то
Таким образом,
б) для нахождения функции распределения воспользуемся формулой
.
При
.
При
,
При
,
Итак,
в
)
Рисунок 2.3 − Графики функций F(x) и f(x)
Задачи
205.
Случайная величина Х задана функцией
распределения F(x)= 
x+4)
на отрезке 
.
Найти вероятность того, что случайная
величина Х примет значения: а) меньше
4; б) меньше 6; в) не меньше 3; г) не меньше
6.
206. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения
Найти
вероятность: а) Р(Х = 1); б) Р(Х 
в) Р (1 
Х 
г) вычислить математическое ожидание
М(Х), дисперсию D(Х); среднее квадратическое
отклонение.
207. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения
Найти вероятность: а) Р(Х = 2,5); б) Р(Х < 7/3); в) Р(2,5 < Х < 3); г) вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х); среднее квадратическое отклонение.
В задачах 208 – 213 случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Требуется найти:
а) функцию плотности вероятности f(x);
б)
математическое ожидание М(х), дисперсию
D(x), среднее квадратическое отклонение
в)
вычислить вероятность того, что Х примет
значения, принадлежащие интервалу (
г) построить графики функций f(x) и F(x);
208.
,
.
209.
.
210.
.
211.
.
212.
.
213.
.
214. Дана функция:
Показать, что f(x) может служить плотностью вероятности некоторой случайной величины Х.
215. Случайная величина задана плотностью распределения
Найдите:
а) интегральную функцию распределения
F(x);
б) вероятность Р(1 
, в) постройте графики f(x)
и F(x).
В задачах 216 − 221 случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей f(x). Требуется найти:
а) коэффициент С;
б) функцию распределения F(x) ;
в) математическое ожидание М(х), дисперсию D(x), среднее квадратическое отклонение σ(х);
г) построить графики функций f(x) и F(x);
д) вычислить вероятность того, что Х примет значения, принадлежащие интервалу (
216.
α = -1 , β = 1.
217.
α = 1 , β = 2 .
218.
α =
, β =
.
219.
α = 1 , β = 3 .
220.
,
α = -2 , β = 2 .
221.
α = 0 , β = 4 .