1.2. Классическое и статистическое определения вероятности. Геометрическая вероятность

Согласно классическому определению, вероятность события А вычисляется по формуле Р(А) = , (1.7) где n – число всех равновозможных, единственно возможных и несовместных исходов испытания; m – число исходов, благоприятствующих появлению события А. Таким образом, нахождение вероятности события сводится к вычислению значений параметров n и m, а так как 0 ≤ m ≤ n, то 0≤ Р(А) ≤ 1.

Статистической вероятностью события А называют относительную частоту появления этого события в n произведённых испытаниях, т.е. , (1.8) где m – число испытаний, в которых появилось событие А

n – общее число испытаний.

Пример 1.9. Имеется 100 одинаковых деталей, среди которых 3 бракованных. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется без брака.

Решение. В этой задаче производится испытание – извлекается одна деталь. Число всех исходов испытания равно 100, т.к. может быть взята любая деталь из 100. Эти исходы несовместные равновозможные и единственно возможные. Таким образом, n = 100. Событие А состоит в появлении детали без брака. Всего в партии 97 деталей без брака, следовательно, число исходов, благоприятных появлению события А равно 97. Итак, m = 97, тогда

Пример 1.10. Код банковского сейфа состоит из 6 цифр. Найти вероятность того, что наудачу выбранный код содержит различные цифры.

Решение. Так как на каждом из шести мест в шестизначном номере может стоять любая из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, то всех различных шестизначных номеров, по правилу произведения, будет равно n = 101010101010 = 10⁶. Номера, в которых все цифры различны,  это размещения из 10 элементов по 6. Поэтому число благоприятных исходов m= . Искомая вероятность равна = 0,1512 .

Пример 1.11. Группа туристов из 15 юношей и 6 девушек выбирают по жребию хозяйственную команду в составе пяти человек. Какова вероятность, что в составе команды окажутся три юноши и две девушки ?

Решение. Испытание состоит в том, что из двадцати одного человека выбирают пятерых. Так как выбор осуществляется по жребию, то все исходы испытания равновероятны и, кроме того, они не совместны. Число исходов испытания , так как выборка состоит из пяти элементов и порядок их расположения в выборке не учитывается.

Пусть событие А состоит в том, что в составе выбранных окажутся три юноши и две девушки. Трёх юношей из 15 можно выбрать способами, и после каждого такого выбора двух девушек из 6 можно выбрать способами. По правилу произведения, событию А благоприятствует исходов испытания. Искомая вероятность равна .

Задачи

37. Укажите, какие из следующих событий являются: 1) случайными; 2) достоверными; 3) невозможными:

а) выигрыш по одному билету лотереи спортлото; б) извлечение из урны цветного шара, если в ней находится 3 синих и 5 красных шаров; в) извлечение бракованного изделия из партии годных изделий; г) получение студентом 25 баллов при сдаче 4 экзаменов, если применяется пятибалльная система оценок; д) выпадение не более шести очков на верхней грани игрального кубика.

38. Какова вероятность того, что последняя цифра наугад набранного телефонного номера окажется равной 5 или кратной 3?

39. Подбрасываются две игральные кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков будет не больше 5?

40. Какова вероятность того, что число на вырванном наудачу листке нового календаря: а) кратно 2; б) равно 29, если в году 365 дней.

41. В группе 6 юношей и 18 девушек. По жребию разыгрывается один билет в театр. Какова вероятность того, что билет достанется девушке?

42. В партии 5 изделий первого сорта и 7 – второго. Какова вероятность, что наудачу взятое изделие будет: а) первого сорта; б) второго сорта.

43. Жюри конкурса определило 10 претендентов, одинаково достойных первой премии. Среди них оказалось 2 студента 4-го курса, 4 студентов 5-го курса, 4 аспиранта. Какова вероятность того, что в результате жеребьёвки премия будет выдана студенту?

44. В ящике 15 деталей, среди которых 9 стандартных. Сборщик наудачу извлекает три. Найти вероятность того, что извлечённые детали окажутся: а) стандартными; б) нестандартными?

45. Из 25 студентов 8 имеют спортивные разряды. Какова вероятность, что выбранные наудачу 4 студента: а) имеют спортивный разряд; б) не имеют спортивного разряда.

46. Магазин получает товар партиями по 50 штук. Если пять взятых наудачу образцов соответствует стандартам, партия товара поступает на реализацию. В очередной партии 4 единицы товара с дефектом. Найти вероятность того, что товар поступит на реализацию?

47. Из колоды (36 карт) наудачу вынимают 6 карт. Найти вероятность, что среди них окажется один туз?

48. В компании 11 акционеров, из них три имеют привилегированные акции. На собрание акционеров явилось 6 человек. Найти вероятность того, что среди явившихся акционеров: а) все трое акционеров с привилегированными акциями отсутствуют; б) двое с привилегированными акциями.

49. Служащие компании распределены в таблице по отделам и полу.

Подразделение	Женщины	Мужчины
Производственный отдел Ремонтная мастерская Склады Автобаза Отдел реализации	6 3 5 2 5	20 10 5 8 10

В компании решено организовать комиссию по охране труда из 5 человек. Какова вероятность, что : а) все члены комиссии женщины; б) члены комиссии работники разных отделов; в) в комиссию не войдут работники отдела реализации; г) в состав комиссии войдут женщина, работающая на складе, 2 работника производственного отдела и двое мужчин, работающих в ремонтной мастерской.

50. В партии 100 изделий, из которых 6 – бракованные. Партия произвольно разделена на две равные части, которые отправлены двум потребителям. Какова вероятность того, что все бракованные изделия достанутся одному потребителю?

51. Найти вероятность того, что из 10 книг, расположенных в случайном порядке, 3 определённые книги окажутся рядом?

52. На один ряд из семи мест случайным образом рассаживаются 7 учеников. Найти вероятность того, что три определённых ученика окажутся рядом?

53. Какова вероятность того, что при случайном расположении в ряд кубиков, на которых написаны буквы А, Г, И, Л, М, О, Р, Т получится слово алгоритм?

54. Лифт начинает движение с четырьмя пассажирами и останавливается на 10 этаже. Какова вероятность, что никакие два пассажира не выйдут на одном этаже.

55. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Какова вероятность того, что в нём все цифры: а) различные; б) одинаковые; в) нечётные? Известно, что номер телефона не начинается с цифры ноль.

56. Из 30 учащихся спортивной школы 12 человек занимаются баскетболом, 15 – волейболом, 5 – волейболом и баскетболом, а остальные – другими видами спорта. Какова вероятность того, что наудачу выбранный спортсмен занимается только волейболом или только баскетболом?

57. В магазине было продано 12 из 20 холодильников двух марок, имеющихся в количестве 9 и 11 штук. Полагая, что вероятность быть проданным для холодильника каждой марки одна и та же, найти вероятность того, что остались нераспроданными холодильники одной марки.

58. В лотереи 2 000 билетов; из них на 4 билета выпадают выигрыши по 2 500 рублей, на 10 билетов – по 1 000 рублей, на 20 билетов – по 500, на 5 билетов – по 100 рублей. Остальные билеты без выигрыша. Какова вероятность выиграть не менее 500 рублей, если куплен один билет?

59. В партии из 120 деталей отдел технического контроля обнаружил 6 нестандартных деталей. Чему равна относительная частота появления нестандартных деталей?

60. При испытании партии приборов относительная частота годных приборов оказалась равной 0,9. Найдите число годных приборов, если всего было проверено 200 приборов.

61. Два студента – А и В условились встретиться в определённом месте, договорились только о том, что каждый является туда в любой момент времени между 11 и 12 ч. и ждёт в течение 30 мин. Если партнёр к этому времени ещё не пришёл или уже успел покинуть установленное место, встреча не состоится. Найдите вероятность того, что встреча состоится.

62. Используя условие задачи 62, найдите вероятность того, что встреча состоится, если время ожидания не превысит 15 мин.

63. В течение 20 мин после девяти часов менеджер А в случайный момент времени звонит по телефону менеджеру В, ждёт 2 мин, после чего кладёт трубку. В течение тех же 20 мин менеджер В заходит в кабинет в случайный момент и остаётся в кабинете в течение 4 мин. Какова вероятность того, что разговор между менеджерами состоится?