2.3.3. Нормальное распределение

283. Непрерывная случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами М(Х) = − 2 и (Х) = 4. Составить функцию плотности распределения вероятностей данной случайной величины и построить её график.

284. Известны математическое ожидание и дисперсия нормально распределённой случайной величиной Х, М(Х) = 9; D(Х) = 36. Требуется найти: а) функцию плотности распределения f(x) и построить её график; б) Р(5 < Х < 10); в)P(Х − 9 < 3).

285. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с плотностью вероятностей . Найти: М(Х), D(Х), Р(7<Х <11).

286. Заданы математическое ожидание и дисперсия нормально распределённой случайной величины Х: М(Х) = 20; Д(Х) = 0,25. Требуется найти: а) функцию плотности распределения f(x) и построить её график;

б) P (19 < x < 22); в) P .

287. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения вероятностей . Найти: М(Х), D(Х), Р(− 7 < X < − 6).

288. Значения теста IQ (коэффициента интеллекта) Стэнфорда-Бине распределены приблизительно по нормальному закону с математическим ожиданием а = 100 и средним квадратическим отклонением σ = 16. Составить функцию распределения коэффициента интеллекта и плотности его распределения. Построить график нормальной кривой.

289. В условиях предыдущей задачи найти долю людей, у которых коэффициент интеллекта окажется: а) меньше 60; б) меньше 75; в) меньше 95; г) меньше 100; д) меньше 120; е) в пределах от 80 до 120; ж) отклониться от 100 менее чем на 48.

290. Распределение рабочих на промышленных предприятиях города по проценту выполнения норм выработки есть случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону с математическим ожиданием, равным 140 и средним квадратическим отклонением, равным 30. Составить функцию плотности распределения вероятностей и построить её график.

291. Текущая цена акции может быть приближена нормальным распределением с математическим ожиданием 15,28 руб. и средним квадратическим отклонением 0,12 руб. Рассчитать вероятности того, что цена акции окажется: а) не ниже 15,50 руб.; б) не выше 15,00 руб.; в) между 15,10 руб. и 15,40 руб.

292. Средний процент выполнения плана группой предприятий составляет 106%, среднее квадратическое отклонение  = 8%. Полагая, что процент выполнения плана этой группой предприятий подчиняется нормальному закону, определить, в каких границах следует ожидать процент выполнения плана этими предприятиями с вероятностью 0,95.

293. Волжский автомобильный завод запускает в производство новый двигатель. Конструкторы двигателя считают, что средняя длина пробега для автомобиля с новым двигателем составляет 160 тыс. км со стандартным отклонением σ = 30 тыс. км. Чему равна вероятность того, что до первого ремонта пробег автомобиля с новым двигателем будет находиться в пределах от 100 тыс. км до 180 тыс. км (Считать расстояние пробега, нормально распределённой случайной величиной).

294. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение её контролируемого размера от проектного не превышает 10 мм. Случайные отклонения контролируемого размера от проектного подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением  = 5 мм и математическим ожиданием а = 0. Сколько процентов годных деталей изготовит автомат?

295. Фирма, занимающаяся продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов – есть нормально распределённая случайная величина со средним квадратическим отклонением σ = 560 и неизвестным математическим ожиданием. В 90% случаев число ежемесячных заказов превышает 12 439. Найти среднее число заказов, получаемых фирмой в месяц.

296. Цена некоторой акции распределена нормально. В течение последнего года в 20% рабочих дней цена была меньше 20 руб., а в 75% рабочих дней она была больше 25 руб. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение цены этой акции.

297. Фирма по продаже автомобилей рассматривает предложение специального договора, который охватывает общую цену работы по обслуживанию аренды транспортных средств. По прошлому опыту менеджер фирмы оценивает, что цена по годовому обслуживанию приближается к нормальному распределению со средним значением 150 долларов и стандартным отклонением 25 долларов: а) если компания предполагает договор по обслуживанию посетителей с годовыми расходами в размере 200 долларов, то какова вероятность, что цена обслуживания клиента компании превысит 200 долларов; б) какова ожидаемая выгода по договору обслуживания?

298. Упаковочный аппарат расфасовывает стиральный порошок в пакеты, средний вес которых – 930 г., а стандартное отклонение – 20 г. а) Какая доля пакетов будет иметь вес до 900 г.? б) Если требуется, чтобы не более чем 2,5% пакетов содержали меньше, чем 900 г., то как должна быть налажена машина, чтобы соответствовать этому требованию?

299*. Рост лиц призывного возраста предполагается нормально распределённым с параметрами а = 172 см. и σ = 6 см. Определить процент лиц, рост которых: а) ниже 165 см.; б) выше 175 см.