2.3.2. Показательное распределение

259. Составить функцию распределения и функцию плотности вероятностей случайной величины, распределённой по показательному закону, если параметр  = 6.

260. Найти параметр  показательного распределения, заданного:

а) функцией плотности вероятностей ;

б) функцией распределения .

261. Доказать, что если непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, то вероятность попадания Х в интервал (а, b) вычисляется по формуле .

262. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному функцией распределения:

.

Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадёт в интервал (2, 5).

263. Найти числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение) случайной величины, заданной плотностью распределения вероятностей

264. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение показательного распределения, заданного:

а) функцией плотности вероятности ;

б) функцией распределения .

265. Доказать, что если непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, то вероятность того, что Х примет значение, меньше математического ожидания М(Х), не зависит от величины параметра λ. Найти вероятность того, что Х > M(X).

266. Найдите числовые характеристики случайной величины и

Р(– 9,4 < X < – 8), если задана функция распределения

267. Среднее время обслуживания покупателя составляет 20 минут и подчиняется показательному закону. Найти плотность распределения, функцию распределения. Чему равна вероятность того, что обслуживание покупателя составит от 20 до 40 минут?

268. Плотность распределения случайной величины Х имеет вид

.

Требуется: а) найти параметр С; б) составить функцию распределения; в) найти вероятность того, что случайная величина Х попадёт в интервал (1/3; 1);

г) вычислить числовые характеристики М(Х), D(X).

269. Время, необходимое для оформления договора, является случайной величиной, распределённой по показательному закону с параметром . Найти вероятность того, что оформление договора займёт менее 7 часов. Найти среднее время оформления договора.

270. На шоссе установлен контрольный пункт для проверки технического состояния автомобилей. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины Т − времени ожидания очередной машины контролёром, если поток машин простейший и время (в часах) между прохождениями машин через контрольный пункт распределено по показательному закону f(t) = 5e ^-5t.

271. Обычно брокер получает от своего клиента приказы об операциях на фондовой бирже раз в неделю. Время до поступления очередного приказа подчиняется показательному закону. Найти вероятность того, что очередной приказ поступит не более чем через два дня.

272. Срок службы жёсткого диска компьютера – случайная величина, подчиняющаяся экспоненциальному распределению со средней в 12 000 ч. Найти долю жёстких дисков, срок службы которых превысит 20 000 ч.

273. Служащий рекламного агентства утверждает, что время, в течение которого телезрители помнят содержание коммерческого рекламного ролика, подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром λ = 0,25 дня. Найти долю зрителей, способных вспомнить рекламу спустя семь дней.

274. Установлено, что время ремонта телевизоров есть случайная величина Х, распределённая по показательному закону. Определить вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется более 20 дней, если среднее время ремонта телевизоров составляет 15 дней. Найти плотность вероятности, функцию распределения и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

275. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение F(t) = 1 – e^-0,001t (t > 0). Найти вероятность того, что за время t = 50 часов: а) элемент откажет; б) элемент не откажет.

276. В страховой компании для анализа изменения с течением времени размера страхового фонда была использована информация о процессе поступления в компанию требований по выплатам, в связи с наступлением страхового случая. Было установлено , что Т – интервал времени между любыми двумя соседними требованиями подчиняется показательному закону со средней продолжительностью ½ недели. Найти вероятность того, что: а) интервал времени между двумя соседними требованиями будет меньше 4 дней; б) интервал времени между двумя соседними требованиями будет не менее трёх дней?

277. Время между последовательными поступлениями клиентов в налоговую инспекцию распределено по экспоненциальному закону со средним значением 3 мин. Служба начинает работу в 8:00 утра. Определите вероятность того, что до 8:15 утра в инспекции клиентов не будет.

278. Наблюдение за работой сберегательного банка показало, что интервал времени между двумя соседними вкладами подчиняется показательному закону с математическим ожиданием равным трём часам. Найти вероятность того, что промежуток времени между двумя соседними вкладами в банк составит менее 4 часов.

279. Испытывают два независимо работающих элемента. Длительность времени безотказной работы первого элемента имеет показательное распределение , второго . Найти вероятность того, что за время t = 6 часов: а) оба элемента откажут; б) оба элемента не откажут; в) только один элемент откажет; г) хотя бы один элемент откажет.

280. Вероятность безотказной работы телевизора распределена по показательному закону f(t) = 0,002 ∙ e^-0,002t (t > 0). Найти вероятность того, что телевизор проработает 1 000 ч.

281*. Обычно папа ругает Петю за принесённую «двойку» около 6 мин. Время нотации подчиняется показательному закону распределения. На этот раз нотация длится больше шести минут. Найти математическое ожидание и дисперсию длительности нотации. Определить, с какой вероятностью папа закончит «читать нотацию» в течение ближайшей минуты?

282*. Показательным законом надёжности называют функцию надёжности, определяемую равенством R(t) = e ^–λt, где положительное число λ – интенсивность отказов. Доказать характеристическое свойство показательного закона надёжности: вероятность безотказной работы элемента в интервале времени, длительностью t, не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности интервала t (при заданной интенсивности отказов λ).