Лекция 2. Системы линейных уравнений Основные понятия

Для исследования процессов функционирования экономики, при построении математических моделей конкретных задач, возникающих перед менеджером в процессе его деятельности, в ряде случаев используются системы линейных уравнений. Так, например, при межотраслевом анализе – изменение объема выпуска отрасли при фиксированном коэффициенте прямых затрат в случае изменения спроса необходимо искать путем решения системы линейных уравнений, которая является моделью изучаемого процесса.

Нахождение решений системы линейных уравнений может быть осуществлено различными методами. Выбор метода зависит от рассматриваемой задачи и соответствующей математической модели. В ряде случаев необходимо лишь знать – существует ли решение рассматриваемой системы.

Цель данного раздела – исследовать совместность системы линейных уравнений и дать некоторые методы их решения. Эти методы позволяют найти точное решение системы. Кроме этого, существуют методы, позволяющие находить приближенные решения, например, метод Якоби, метод Гаусса-Зейделя, метод пошагового агрегирования. В этом разделе они не рассматриваются.

Рассмотрим совокупность уравнений:

,

(2.1)

где ‑ действительные числа, а ‑ неизвестные. Эту совокупность называют системой линейных уравнений с неизвестными, числа ‑ коэффициенты системы (1), ‑ свободные члены. Упорядоченный набор действительных чисел называется решением системы (2.1), если после подстановки в каждое из уравнений (2.1) вместо чисел , это уравнение превращается в тождество.

Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет ни одного решения.

Система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если у нее есть, по крайней мере, два различных решения.

Две системы с неизвестными называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.

Матрица , составленная из коэффициентов системы (2.1), называется матрицей системы.

Обозначив через , систему (2.1) можно записать в виде матричного уравнения:

(2.2)

Матрица , полученная приписыванием к матрице справа столбца свободных членов системы (2.1), называется расширенной матрицей системы (2.1).

Пример 1. Дана система ЛАУ:

Составим расширенную матрицу системы:

При исследовании системы (2.1) ищут ответ на следующие три вопроса:

1. когда система совместна;

2. если система совместна, то определена ли она;

3. как отыскать ее решения.

Критерий совместности системы линейных уравнений

Ответ на первый вопрос дает теорема Кронекера-Капелли – критерий совместности системы линейных уравнений.

Теорема. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы.

Правило Крамера решения систем линейных уравнений

Рассмотрим невырожденные системы линейных уравнений, т.е. системы, у которых и определитель матрицы системы отличен от нуля. Определитель матрицы называется определителем системы. Следующая теорема, называемая правилом Крамера, отвечает на второй вопрос.

Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

(2.3)

Коэффициенты этой системы составляют квадратную матрицу второго порядка:

(2.4)

Решим систему (2.3). Для этого умножим первое уравнение системы на , второе – на и вычтем из первого уравнения второе:

.

Аналогично, исключая , получим .

Если , то найдем единственное решение системы: .

Общий знаменатель значений неизвестных и , обозначаемый через , называется определителем матрицы . Это определитель второго порядка. Числителями неизвестных и являются определители тоже второго порядка . Откуда .

Мы получили правило Крамера решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Правило Крамера. Если определитель системы линейных уравнений с неизвестными отличен от нуля, то система имеет единственное решение: , где ‑ определитель, получаемый из заменой -го столбца столбцом свободных членов. Данные формулы называются формулами Крамера.

ПРИМЕР 2. Решить методом Крамера систему:

Так как число уравнений и число неизвестных в системе совпадают, и определитель матрицы системы , то решение системы может быть найдено по формулам Крамера. Имеем:

, .

Следовательно, , .

Мы ответили на три вопроса относительно систем линейных уравнений. Однако применение теоремы Крамера, которая позволила дать этот ответ, приводит к слишком громоздким вычислениям. Практически для решения систем линейных уравнений чаще всего применяется метод Гаусса или матричный метод.