Часть III. Электричество и магнетизм

ЭЛЕКТРОСТАТИКА

Тема 1. Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля

Электростатическое поле – это особый вид материи, с помощью которой происходит взаимодействие заряженных тел.

Точечным называется заряд, сосредоточенный на теле, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием до других заряженных тел, с которыми он взаимодействует.

Закон Кулона: сила взаимодействия F между двумя неподвижными точечными зарядами q₁ и q₂ прямопропорциональна величинам этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними:

,

где (₀ – электрическая постоянная);

 – диэлектрическая проницаемость среды, показывающая во сколько раз сила взаимодействия зарядов в данной среде меньше, чем в вакууме.

Кулоновская сила направлена по прямой, соединяющей взаимодействующие точечные заряды, соответствует притяжению в случае разноименных зарядов и отталкиванию в случае одноименных зарядов. Элект­рические поля, которые создаются неподвижными электрическими зарядами, называ­ются электростатическими.

Для обнаружения и опытного исследования электростатического поля можно использовать пробный точечный заряд q₀ . Если этот заряд поместить в какую- либо точку электростатического поля, то на него будет действовать сила , величина и направление которой определяет силовую характеристику электростатического поля, носящую название напряженности электростатического поля.

Напряженность электростатического поля в данной точке есть физическая величина , определяемая силой, действующей на пробный точечный положительный заряд q₀ , помещенный в эту точку поля, то есть:

.

Напряжённость электростатического поля, создаваемого точечным зарядом q в любой точке поля, находящейся на расстоянии r от этого заряда:

.

Э лектростатическое поле может быть изображено графически с помощью силовых линий. Силовая линия — это такая линия, касательная в каждой точке к которой совпадает по направлению с вектором напряженности электростатическго поля в данной точке (рис. 1, 2).

Рис. 1 Рис. 2

Если поле создается точечным зарядом, то силовые линии – это радиальные прямые, выходящие из положительного заряда (рис. 2, а), и входя­щие в отрицательный заряд (рис. 2, б).

С помощью силовых линий можно характеризовать не только направление, но и величину напряженности электростатического поля, связывая её с густотой силовых линий. Большей густоте силовых линий соответствует большая величина напряженности (рис. 1, 2). Количественно числу силовых линий, прони­зывающих единичную площадку, расположенную перпендикулярно силовым линиям, ставится в соответствие величина напряженности электростатического поля. В этом случае определенному заряду q, создающему поле, соответствует определенное число N силовых линий, выходящих (для ) из заряда или входящих (для ) в заряд, а именно: .

Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную площадку S характеризуется числом силовых линий, пронизывающих данную площадку S.

Если площадка S перпендикулярна силовым линиям (рис. 3), то поток Ф_Е вектора напряженности через данную площадку S : .

Рис. 3 Рис. 4

Е

Рис. 3

сли же площадка S расположена неперпендикулярно силовым линиям электро-статического поля (рис. 4), то поток вектора через данную площадку S :

,

где α – угол между векторами напряженности и нормали к площадке S.

Д ля того, чтобы найти поток Ф_Е вектора напряженности через произвольную поверхность S, необходимо разбить эту поверхность на элементарные площадки dS (рис. 5), определить элементарный поток dФ_Е через каждую элементарную площадку dS по формуле: ,

а затем все эти элементарные потоки dФ_Е сложить, что приводит к интегрированию:

,

г

Рис. 7

де α – угол между векторами напряженности и нормали к данной элементарной площадке dS .

Если ввести вектор (рис. 5) как вектор, равный по величине площади площадки dS и направленный по вектору нормали к площадке dS , то величина , где  – угол между векторами и может быть записана в виде скалярного произведения векторов и , то есть, как , а полученное соотношение для потока вектора примет вид:

.

Теорема Остроградского - Гаусса для электростатического поля. Теорема Остроградского - Гаусса для электростатического поля связывает между собой величину потока Ф_Е вектора напряженности электростатического поля в вакууме через произвольную замкнутую поверхность S с величиной заряда q, заключенного внутри данной замкнутой поверхности S (рис. 6).

П

Рис. 6

оскольку все силовые линии, выходящие из заряда (для ) или входящие в заряд (для ), пронизывают произвольную замкнутую поверхность S, охватывающую этот заряд (рис. 6), то величина потока Ф_Е вектора напряженности электростатического поля через эту произвольную замкнутую поверхность S будет определяться числом N силовых линий, выходящих из заряда (для ) или входящих в заряд (для ):

.

Это соотношение есть теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля.

Так как поток считается положитель­ным, если силовые линии выходят из поверхности S, и отрицательным для линий, входящих в поверхность S, то в случае, если внутри произвольной замкнутой поверхности S находится не один, а несколько (n) разноименных зарялов, то теорема Остроградского - Гаусса для электростатического поля формулируется следующим образом:

поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме через произ­вольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на ₀ :

.

В общем случае электрические заряды могут быть распределены внутри объёма, ограниченного замкнутой поверхностью S, с некоторой объемной плотностью ( ), различной в разных местах пространства. Тогда суммарный заряд, заключенный внутри этой замкнутой поверхности S, охватывающей объем V, равен: .

В таком случае теорема Остроградского - Гаусса приобретает вид:

.

Напряженность электростатического поля зависит от диэлектрических свойств среды. В диэлектрике напряженность поля меньше, чем напряженность внешнего электростатического поля в вакууме, в котором находится диэлектрик, в  раз ( – диэлектрическая проницаемость среды), а модуль вектора , переходя через границу диэлектриков, скачко­образно изменяется. Поэтому для характеристики электростатического поля, кроме вектора напряженности , введен вектор электрического смещения , модуль которого не изменяется при переходе из одной диэлектрической среды в другую.

Вектор электрического смещения по определению: .

Используя то, что в вакууме , теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля может быть переформулирована следующим образом:

,

то есть поток вектора смещения электростатического поля через произ­вольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов.

В случае, если электрические заряды распределены внутри объёма V, ограни-ченного замкнутой поверхностью S, с некоторой объемной плотностью , теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля может быть переформулирована сдедующим образом:

.