4.2. Элементы теории вероятностей и характеристики распределения случайных величин

Наличие случайной составляющей погрешности измерения приводит к тому, что для получения результата измерения целесообразно рассматривать измеряемые величины как случайные. Кроме того, сами случайные погрешности могут быть определены только с привлечением аппарата теории вероятностей, которая представляет собой науку, изучающую закономерности случайных явлений. Теория вероятностей устанавливает закономерности только для массовых явлений, т.е. таких явлений, которые могут повторяться многократно при одних и тех же условиях.

Случайным называется событие, которое в данном опыте может произойти или не произойти. Обозначим случайное событие А и будем иметь в виду, что большинство событий при измерениях понимаются как выполнение соотношения

,

где - допустимое значение .

Каждое из событий в опыте обладает какой-то степенью возможности: одни – большей, другие – меньшей. Для количественного сравнения случайных событий по степени их возможности используется количественная характеристика каждого случайного события, которая выражается числом тем большим, чем более возможно данное событие. Эту характеристику называют вероятностью случайного события и обозначают, как правило, Р. Таким образом, вероятность случайного события является численной мерой объективной возможности этого события и определяется по формуле:

, (4.3)

где – вероятность появления случайного события А в опыте (эксперименте, испытаниях и т.д.);

– число случаев появления события А;

– общее число каких-либо событий, появляющихся (могущих появиться) в результате проведения опыта, включая событие .

Определение числа – числа всех возможных исходов опыта – часто весьма затруднительно, но самое главное, что в эксперименте попросту невозможно ввиду ограниченной возможности повторения опытов. Число – количество раз, когда событие в результате опыта наступило, в эксперименте также определяется на основе ограниченного числа опытов. Поэтому на практике вместо вероятности используют частоту появления случайного события :

, (4.4)

где – частота появления события в проведенных опытах;

– количество раз, когда событие наступило;

– общее число результатов опытов.

Частоту ввиду ее использования в роли вероятности на практике называют статистической вероятностью.

Свойства случайной величины исчерпывающе описываются законом распределения случайной величины, который представляет собой соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Случайные величины можно разделить на дискретные и непрерывные. Значения дискретной случайной величины могут быть перечислены. Значения непрерывной случайной величины непрерывно заполняют некоторый интервал. Случайные погрешности измерений относятся к непрерывным случайным величинам, но проявляются часто в виде некоторого набора значений, т.е. дискретно. Поэтому к ним применимы понятия и непрерывных и дискретных случайных величин.

Для дискретной случайной величины удобной формой описания закона распределения является ряд распределения – таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им значения вероятности (табл. 4.1).

Таблица 4.1.