3.3. Безградиентные методы оптимизации поиска

До сих пор рассматривались методы поиска оптимума, в которых производился предварительный анализ производных функций цели по всем независимым переменным для определения направления и величины шага поиска. Это связано с необходимостью выполнения большого объёма вычислений, что приводит к увеличению времени поиска.

Кроме того, при оптимизации объекта в условиях отсутствия его математического описания, погрешность вычисления производной как разности значений и критерия оптимальности может достигать до сотен процентов из-за неизбежных погрешностей при измерений величин, характеризующих этот критерий. Причём это может иметь место даже при небольшой относительной погрешности вычислений значения критерия оптимальности. Это может привести к существенным ошибкам в определении направления движения к оптимуму с помощью градиентных методов.

Существует другая группа методов – безградиентные методы, использующие в процессе поиска информацию, получаемую не при анализе производных, а от сравнительной оценки критерия оптимальности в результате выполнения очередного шага. К ним относятся методы сканирования, покоординатного спуска (Гаусса- Зейделя), симплекса.

3.3.1 Метод сканирования

Идея алгоритма перебора крайне проста. Вычисляют значения функции в конечном числе точек области D_x (в узлах координатной сетки).Из вычисленных значений выбирают наименьшее (наибольшее) . Координаты соответствующего узла сетки – это координаты экстремума, определённые с точностью до , где – h шаг сетки (рис. 6.10).

Рисунок 3.11 – Поиск оптимума на сетке переменных

Точность определения точки минимума, причем глобального, зависит от плотности наполнения области D_x дискретным множеством , то есть от величины шага h координатной сетки, тем выше точность определения положения оптимума, однако при уменьшении h быстро растёт объём вычислений. Если интервал изменения каждой переменной разбить К равных частей, то h равно

,

При этом необходимое количество вычислений I(x) равно .

Поэтому эффективное применение данного метода ограничивается задачами невысокой размерности (n=2-3). При большой размерности вектора требуется выполнение большого объёма вычислительной работы.

Пусть область D_x – геперкуб:

,

в котором ищется .Точность определения координат вектора , минимизирующего , положим равной 0,1. Тогда интервалы следует разбить на 10 частей с шагом h=0,1 плоскостями, ортогональными и вычислить во всех точках перечисления плоскостей значения . Всего потребуется вычислить в 11ⁿ точках. Пусть для нахождения I в каждой точке требуется примерно 10²n арифметических операций. Тогда общее число арифметических операций алгоритма перебора примерно 11⁽ⁿ⁺²⁾n и при n=10 на ЭВМ с быстродействием 10⁹ oп/c требуется примерно 10⁴ с, т.е. примерно 167 минут непрерывной работы ЭВМ.

Иногда поиск осуществляется с переменным шагом сканирования. Вначале величина h выбирается достаточно большой, выполняется грубый поиск для локализации экстремума, а поиск в районе оптимума осуществляется с меньшим шагом.

Достоинства метода – возможность определения глобального оптимума и независимость поиска от вида оптимизируемой функции.