Лекція 3

3.4 Метод Ньютона (дотичних)

Метод Ньютона дуже широко використовується при побудові ітераційних алгоритмів. Його популярність пояснюється тим, що, для визначення інтервалу, в якому міститься корінь, не потрібно знаходити значення функції з протилежними знаками. Замість інтерполяції (наближення) по двом значенням функції в методі Ньютона здійснюється екстраполяція за допомогою дотичної до кривої в даній точці.

Нехай корінь рівняння f(х)=0 відділений на відрізку [a, b], причому f'(х) і f"(х) неперервні і зберігають постійні знаки на всьому відрізку [а, b].

Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому, що дуга кривої у=f(х) замінюється дотичною до цієї кривої (звідси і друга назва: метод дотичних).

Перший випадок. Нехай f(а)<0, f(b)>0, f'(х)>0, f'(x)>0 (мал.5а), або f(а)>0, f(b)<0, f'(х)<0, f”(х)<0 (мал.5б). Проведемо дотичну до кривої у=f(х) у точці B₀(b; f(b)) і знайдемо абсцису точки перетину дотичної з віссю Ox.

Відомо, що рівняння дотичної в точці B₀(b; f(b)) має вигляд:

y – f(b) = f^(b)(x-b)

Вважаючи y=0, x=x₁, отримаємо

x₁ = b - f(b)/f^(b) (5)

Тепер корінь рівняння знаходиться на відрізку [a, x₁]. Застосовуючи знову метод Ньютона, проведемо дотичну до кривої в точці В₁(x₁; f(х₁)) і отримаємо

x₂ = x₁ - f(х₁)/ f^(х₁)

І взагалі

x_n+1 = x_n - f(х_n)/ f^(х_n) (6)

Одержуємо послідовність близьких значень x₁, x₂,..., x_n кожний наступний член якої ближче до кореня , ніж попередній. Однак всі x_n залишаються більше істинного кореня , тобто x_n - наближене значення кореня x_n з надлишком.

Другий випадок. Нехай f(а)<0, f(b)>0, f'(х)>0, f”(х)<0 (мал.6а) або f(а)>0, f(b)<0, f'(х)<0, f”(х)>0 (мал.6б).

Якщо знову провести дотичну до кривої у=f(x) в точці В, то вона перетне вісь абсцис у точці, що не належить відрізку [a, b]. Тому проведемо дотичну в точці A₀(a; f(a)) і запишемо її рівняння для даного випадку:

y – f(a) = f^(a)(x-a)

Вважаючи у=0, x=x₁, знаходимо

x₁ =a- f(a)/ f^(a) (7)

Корінь знаходиться тепер на відрізку [x₁, b]. Застосовуючи знову метод Ньютона, проведемо дотичну в точці A₁ (x₁; f(x₁)) і отримаємо

x₂ =a- f(x₁)/ f^( x₁)

М

ал.6

І взагалі

x_n+1 =a- f(x_n)/ f^( x_n) (8)

Одержуємо послідовність близьких значень х₁, х₂,..., x_n кожний наступний член якої ближче до істинного кореня , ніж попередній, тобто x_n — близьке значення кореня з недоліком.

Порівнюючи ці формули з раніше виведеними, помічаємо, що вони відрізняються друг від друга тільки вибором початкового наближення: у першому випадку за x₀ приймався кінець b відрізка, в другому — кінець a.

При виборі початкового наближення кореня необхідно керуватися наступним правилом: за вхідну точку слідує вибирати той кінець відрізка [а, b], на якому знак функції співпадає зі знаком другої похідної. У першому випадку f(b)•f”(х)>0 і початкова точка b=x₀, в другому f(a)•f”(x)>0 і в якості початкового наближення беремо а=x₀.

Для оцінки похибки можна користуватися загальною формулою

 - x_nf (х_n)/m, (9)

де m = minf^ (х) [а  x  b].

Ця формула годиться і для методу хорд. У випадку, коли відрізок [а, b] настільки малий , що на ньому виконується умова

m₂<2m₁, де m₂ = maxf^ (х), a m₁ = minf^ (х) [а  x  b].

Точність наближення на k-ому кроку оцінюється так:

якщо x_k+1 - x_k <, , то  - x_k <².

Якщо похідна f'(x) мало змінюється на відрізку [а, b], то для спрощення обчислень можна користуватися формулою

x_n+1 = x_n - f(x_n)/ f^( x_n) (10)

тобто значення похідної в початковій точці достатньо обчислити тільки один раз. Геометрично це означає, що дотичні в точках В_n(x_n; f(x_n)) замінюються прямими, паралельними до дотичної, проведеної до кривої у=f(х) в точці В₀(x₀; f(x₀)) (мал.7).

Приклад. Методом дотичних уточнити до =0.001 корінь рівняння x³+Зx²-3=0, розташований на відрізку [-2.75; -2.5].

Розв’язання. Раніше було встановлено, що f(-2.75)•f"(х)>0. Тому, щоб скористуватися методом дотичних, слід вибрати x₀=-2.75. Обчислення будемо вести по формулі (10). Знаходимо f'(x₀)=Зх²+6x; f'(x₀)=f'(- 2.75)=6,1875.

Для зручності всі обчислення зведемо в наступну таблицю:

Таблиця 1

N	xп	x3п	x2п	3x2п	f(xп)	-f(xn)/6,1875
0 1 2 3 4 5	-2,75 -2,571 -2,545 -2,537 -2,534 -2,533	-20,797 -16,994 -16,484 -16,329 -16,271	7,5625 6,6100 6,4770 6,4364 6,4212	22,6875 19,8300 19,431 19,309 19,2636	-1,111 -0,164 -0,053 0,020 0,007	0,179 0,026 0,008 0,003 0,001

З таблиці 1 видно, що x₅ - x₄ <0.001, тому  = x₅ =-2.533.