4.1 Сравнение двух дисперсий нормально распределенных генеральных совокупностей
Имеем параметры выборок
по признаку Х: n1 – объем выборки; Sx2 – исправленная выборочная дисперсия;
по признаку У: n2 – объем выборки; Sу2 – исправленная выборочная дисперсия.
Пусть для определенности Sx2 > Sу2.
Требуется при заданном уровне значимости сравнить дисперсии D(X) и D(Y) генеральных совокупностей.
Выдвинем основную и альтернативную гипотезы. Здесь рассмотрим два случая:
а) Н0: D(Х) = D(У) б) Н0: D(Х) = D(У)
Н1: D(Х) D(У) Н1: D(Х) D(У)
Для проверки гипотез по результатам выборок вычисляем наблюдаемое значение критерия (отношение большей дисперсии к меньшей):
Этот критерий является случайной величиной, которая подчиняется закону распределения Фишера–Снедекора.
Критические области и точки зависят от выдвинутых альтернативных гипотез H1 .
а) Н1: D(Х) D(У)
Критическая область является правосторонней. Критическая точка находится по таблице критических точек распределения Фишера–Снедекора (приложение 7)
Fкр=F(; k1; k2),
где – заданный уровень значимости; k1 = n1 –1 - число степеней свободы большей исправленной дисперсии (Sx2); k2 = n2 –1 - число степеней свободы меньшей исправленной дисперсии (Sy2).
Если в результате сравнения окажется Fнабл < Fкр, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу H0; если же Fнабл > Fкр , то нулевая гипотеза H0 отвергается; принимается гипотеза H1.
б) Н1: D(Х) D(У)
Критическая область является двусторонней. Критическая точка находится по таблице критических точек распределения Фишера–Снедекора (приложение 7)
Fкр=F(/2; k1; k2),
где – заданный уровень значимости; k1 = n1 –1 - число степеней свободы большей исправленной дисперсии (Sx2); k2 = n2 –1 - число степеней свободы меньшей исправленной дисперсии (Sy2).
Если в результате сравнения окажется Fнабл < Fкр, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу H0; если же Fнабл > Fкр , то нулевая гипотеза H0 отвергается; принимается гипотеза H1.
4.2 Сравнение двух математических ожиданий нормально распределенных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы
Имеем параметры выборок
по признаку Х: n1 – объем выборки; – выборочная средняя; Sx2 – исправленная выборочная дисперсия;
по признаку У: n2 – объем выборки; – выборочная средняя; Sу2 – исправленная выборочная дисперсия.
Требуется при заданном уровне значимости сравнить математические ожидания М(Х) и М(У) генеральных совокупностей.
Перед тем, как решать поставленную задачу, нужно убедиться, что дисперсии сравниваемых совокупностей равны (см. п. 4.1). Далее решение осуществляется следующим образом: выдвигается основная и альтернативная гипотезы. Рассмотрим три случая:
а) Н0: M(Х) = M(У) б) Н0: M(Х) = M(У) в) Н0: M(Х) = M(У)
Н1: M(Х) M(У) Н1: M(Х) < M(У) Н1: M(Х) M(У)
Для проверки гипотез по результатам выборок вычисляем наблюдаемое значение критерия
.
Этот критерий является случайной величиной, которая подчиняется закону распределения Стьюдента с k = n1 + n2 – 2 степенями свободы.
Критические области и точки зависят от выдвинутых альтернативных гипотез H1 .
а) Н1: M(Х) M(У)
Критическая область является правосторонней. Критическая точка находится по таблице критических точек распределения Стьюдента (приложение 6, односторонняя критическая область)
tкр = t( ; k), где – заданный уровень значимости.
Если в результате сравнения окажется Tнабл < tкр, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу H0; если же Tнабл > tкр , то нулевая гипотеза H0 отвергается; принимается гипотеза H1.
б) Н1: M(Х) < M(У)
Критическая область является левосторонней. Критическая точка находится по таблице критических точек распределения Стьюдента (приложение 6, односторонняя критическая область), только с отрицательным знаком
tкр = – t(; k), где – заданный уровень значимости.
Если в результате сравнения окажется Tнабл< tкр, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу H0; если же Tнабл> tкр , то нулевая гипотеза H0 отвергается; принимается гипотеза H1.
в) Н1: M(Х) M(У)
Критическая область является двусторонней. Критическая точка находится по таблице критических точек распределения Стьюдента (приложение 6, двусторонняя критическая область)
tкр = t(; k), где – заданный уровень значимости.
Если в результате сравнения окажется Tнабл< tкр, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу H0; если же Tнабл > tкр , то нулевая гипотеза H0 отвергается; принимается гипотеза H1.