2 Точечные оценки параметров распределения.

Точечная оценка некоторого параметра распределения определяется по выборке, записывается одним числом и служит оценкой параметра распределения генеральной совокупности. Такая оценка называется выборочной.

Приведем основные точечные оценки параметров распределения.

Математическое ожидание случайной величины оценивается по выборочной средней ; дисперсия – по выборочной дисперсии D_в и исправленной выборочной дисперсии S² ; среднее квадратическое отклонение (СКО) оценивается по выборочному среднему квадратическому отклонению _в и исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению S; асимметрия распределения оценивается по выборочному коэффициенту асимметрии А_s ; эксцесс – по выборочному эксцессу E_к ; мода распределения – по выборочной моде М_о ; медиана распределения – по выборочной моде М_е . Вероятность события в моделях, подчиняющихся схеме Бернулли, оценивается по выборочной доле  .

Для трактовки полученных результатов расчета параметров выборки следует знать смысл каждой оценки. Приведем краткую их характеристику:

• – характеризует среднее значение признака по выборке;

• D_в и S² – характеризуют средний квадрат отклонения признака от среднего значения по выборке, только вторая характеристика является еще и несмещенной;

• _в и S – характеризуют среднее отклонение признака от среднего значения по выборке;

• А_s – характеризует асимметрию распределения по выборке;

• E_к – характеризует “крутость” (островершинность или плосковершинность) распределения про выборке.

• М_о – характеризует наиболее часто встречающуюся варианту или то значение признака, которому соответствует точка максимума плотности распределения по выборке;.

• М_е – характеризует то значение признака, на которое приходится середина вариационного рядя по выборке;

•  – характеризует вероятность появления события А в одном испытании.

На практике для расчета перечисленных величин применяют различные формулы в зависимости от вида выборки.

2.1 Несгруппированные статистические данные

Пусть выборка значений признака Х представляет собой не сгруппированный ряд чисел: х₁ ; x₂ ; … ; х_i ; …; x_n .

В этом случае расчет ведут по следующим формулам:

Выборочная средняя:

,

Выборочная дисперсия:

,

Выборочное среднее квадратическое отклонение:

Исправленная выборочная дисперсия:

Исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение:

Выборочная асимметрия:

Выборочный эксцесс:

.

2.2 Статистические дискретный и интервальный ряды

Пусть выборка задана дискретным статистическим рядом:

х i	х 1	х 2	…	х i	…	х k
ni	n 1	n 2	…	n i	…	n k

В этом случае расчетные формулы имеют вид:

,

,

, , ,

, .

Мода М_о по дискретному ряду равна тому значению х_m, которому соответствует наибольшая частота n_m .

Медиана М_е рассчитывается по вариационному (отсортированному) ряду так: если объем выборки – нечетное число n=2m+1, то медиана равна варианте с номером m+1 в этом отсортированном ряду М_е=х_m+1 ; если же объем выборки – четное число n=2m, то медиана равна среднему арифметическому из двух центральных вариант М_е=0,5(х_m + х_m+1).

Если выборка задана интервальным статистическим рядом:

Интервал	х 1 – х 2	х 2 – х 3	…	х i–1 – х i	…	х k –1 – х k
ni	n 1	n 2	…	n i	…	n k

то в этом случае заменяют интервалы их серединами и используют формулы для дискретного ряда.

В отличие от дискретных рядов определение моды и медианы требует проведение специальных расчетов.

Мода вычисляется по формуле:

где х₀ – начало модального интервала;

n_Mo – частота модального интервала;

n_{Mo -1} – частота интервала, предшествующего модальному;

n_{Mo +1} – частота интервала, следующего за модальным;

h – величина модального интервала.

Медиана вычисляется по формуле:

где х₀ – начало медианного интервала;

n_Mе – частота медианного интервала;

n – объем выборки;

S_{Me -1} – накопленная частота интервала, предшествующая медианному;

h – величина медианного интервала.