1.3 Графическое представление статистических данных

Графически статистические данные представляются гистограммой и полигоном относительных частот, а также кумулятой. При построении гистограммы на оси абсцисс откладывают интервалы разбиения признака Х, при построении полигона – середины интервалов разбиения признака х _i . По оси ординат в каждом случае откладывают ординаты w_i/h. Полученную ступенчатую фигуру называют гистограммой, ломаную линию – полигоном.

При построении кумуляты на оси абсцисс откладывают интервалы разбиения признака Х, а по оси ординат откладывают рассчитанные ординаты кумуляты, причем крайняя левая точка имеет нулевую ординату, остальные значения ординат берутся из таблицы и соответствуют границам интервалов.

1.4 Задача 1. Первичная обработка

В качестве примера возьмем задачу об установлении корреляционной зависимости между мощностью пласта и производительностью рабочего. В дальнейшем эта задача будет использоваться нами как основная учебная на всех этапах исследования.

Задача1. В нижеследующей таблице собраны сведения о производительности труда рабочего очистного забоя для струговых установок на антрацитовых шахтах. Обозначения: Х – мощность пласта, м; У – производительность рабочего (средняя за месяц), т/вых.

Таблица1

Х	1,13	1,14	1,13	1,13	1,14	1,09	1,53	1,5	1,44	1,4	1,5	1,35	1,4
У	8,4	7,1	7,7	7,6	8,2	6,9	10,9	11,4	13,5	9,5	9,2	10,7	12,5
Х	1,11	0,91	0,96	0,96	0,96	1,23	0,97	1,11	0,99	1	1,33	1,15	1,15
У	7,9	3,7	5,6	6,8	6,9	7,1	6,1	5,8	6,4	3,4	8,2	6,5	6,2
Х	1,12	1,15	1,15	0,88	1,28	1,12	1,2	1,24	0,85	1,2	1,12	1,24	0,91
У	4,9	6,4	6,1	5,6	6,4	6,8	6	5,5	4,8	3,5	10,1	6,2	3,2
Х	1	0,94	1,11	1,13	1,13	1,33	0,94	0,83	1,1	1,5	1,2	1,15	1,29
У	7,8	4,1	5,1	8,5	8,7	8	6,2	14	9,6	1	8,3	9,8	6,1

1. Провести первичную обработку статистических данных (включая проверку данных). Результаты представить в виде таблиц. Построить статистические ряды для каждого признака.

2. Построить гистограмму, полигон относительных частот и кумуляту по каждому признаку.

3. Используя метод “условного нуля”, определить числовые характеристики выборок по каждому признаку: выборочное среднее; выборочную дисперсию; исправленную выборочную дисперсию; исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение. Дать объяснение полученным результатам.

4. Для каждого признака построить 99% или 95% доверительные интервалы для оценки генеральных средних, генеральных средних квадратических отклонений. Дать объяснение полученным результатам.

5. При уровне значимости =0,05 или =0,1 проверить гипотезы о нормальных законах распределения генеральных совокупностей по каждому признаку.

6. Для признаков X и Y построить корреляционное поле, эмпирическую ломанную регрессии и дать предварительный анализ зависимости между признаками.

7. Для признаков X и Y вычислить эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

8. Определить параметры уравнения линейной регрессии.

9. Определить коэффициент корреляции и проверить его на значимость. Сделать вывод о наличии линейной связи между признаками.

10. Составить нелинейное уравнение регрессии, выбрав подходящий тип нелинейности.

11. Построить полученные линии регрессии в одной системе координат.

12. Для всех моделей рассчитать теоретический коэффициент детерминации и теоретическое корреляционное отношение; среднюю квадратическую погрешность уравнения; среднюю относительную погрешность аппроксимации.

13. Используя лучшее из полученных уравнений регрессии дать точечный прогноз значения У при мощности пласта X = 1,8м .

Р ешение задачи начнем с проверки исходных данных. Построим корреляционное поле, в котором будут представлены 52 точки (объем выборки n = 52).

Из построенной диаграммы видим, что две точки (0,83; 14) и (1,5; 1) “выскакивают” из общей совокупности. Анализ исходных данных с позиции возможности большой производительности (у=14 т/вых) при малой мощности пласта (х = 0,83 м) и малой производительности (у=1 т/вых) при большой мощности пласта (х=1,5 м) позволяет отнести эти точки к ошибочным и исключить их из дальнейшего рассмотрения. Следовательно, объем выборки на этом этапе принимается n = 50.

Продолжим решение задачи.

а) Для признака Х определим наибольшее и наименьшее значение признака: X_min=0,85 ; X_max=1,53 ;

Число интервалов разбиения определим по формуле Стэрджесса:

k =1 + 3,322 lg n = 1 + 3,322 lg 50 = 6,6  7.

Найдем шаг разбиения h = (Х_max – X_min) / k.

В данном случае h = (1,53 – 0,85) / 7 = 0,097. Примем h = 0,1.

Произведем группировку данных для признака Х. Для этого подсчитаем, сколько значений признака Х попадет в каждый из интервалов разбиения. Причем, при совпадении значения признака с одной из границ интервала, включаем это значение в левый интервал. Результаты группировки заносим в табл.2. В третьем столбце таблицы заносятся штриховые отметки. Это удобный прием подсчета частот. Начинают с первого элемента выборки. В нашем случае он равен 1,13. Затем находят интервал (1,05 – 1,15), в который это наблюдение попадает, и ставят в третьем столбце штриховую отметку. Остальные наблюдения обрабатывают аналогично в том порядке, в котором они представлены в начальной выборке.

Если пользователь может использовать табличный процессор Excel, то после ввода признака Х можно данные рассортировать в порядке возрастания, и тогда штриховые отметки не понадобятся.

б) Для признака У определим наибольшее и наименьшее значение признака: у_min=3,2 ; у_max=13,5 Число интервалов разбиения определим по формуле Стэрджесса:

k =1 + 3,322 lg n = 1 + 3,322 lg 50 = 7

Найдем шаг разбиения h = (y_max – y_min) / k.

В данном случае h = (13,5 – 3,2) / 7 = 1,471. Примем h = 1,48.

Произведем группировку данных для признака У. Результаты группировки заносим в табл.3

Таблица 2 Обработка признака Х

№	Интервалы	Штриховая отметка	Частоты ni	Середина интервала хi	Частости	Ордината гистогр.	Накопленные частоты	Ордината кумуляты
1	0,85 - 0,95	IIIIII	6	0,9	0,12	1,2	6	0,12
2	0,95 -1,05	IIIIIII	7	1	0,14	1,4	13	0,26
3	1,05 -1,15	IIIIIIIIIIIIIIIIIIII	20	1,1	0,4	4	33	0,66
4	1,15 -1,25	IIIIII	6	1,2	0,12	1,2	39	0,78
5	1,25 -1,35	IIIII	5	1,3	0,1	1	44	0,88
6	1,35 -1,45	III	3	1,4	0,06	0,6	47	0,94
7	1,45 -1,55	III	3	1,5	0,06	0,6	50	1
			50		1	10

Таблица 3 Обработка признака У

№	Интервалы	Штриховая отметка	Частоты ni	Середина интервала yi	Частости	Ордината гистогр.	Накопленные частоты	Ордината кумуляты
1	3,2 - 4,68	IIIII	5	3,94	0,1	0,068	5	0,1
2	4,68 - 6,16	IIIIIIIIIIII	12	5,42	0,24	0,162	17	0,34
3	6,16 - 7,64	IIIIIIIIIIIIII	14	6,9	0,28	0,189	31	0,62
4	7,64 - 9,12	IIIIIIIIII	10	8,38	0,2	0,135	41	0,82
5	9,12 - 10,6	IIII	4	9,86	0,08	0,054	45	0,9
6	10,6 -12,08	III	3	11,34	0,06	0,041	48	0,96
7	12,08-13,56	II	2	12,82	0,04	0,027	50	1
			50		1	0,676

По результатам таблиц записываем статистические ряды для признаков Х и У.

Таблица 4. Признак Х

Интервал	0,85-0,95	0,95-1,05	1,05-1,15	1,15-1,25	1,25-1,35	1,35-1,45	1,45-1,55
х i	0,9	1	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5
ni	6	7	20	6	5	3	3

Таблица 5. Признак У

Интервал	3,2- 4,68	4,68-6,16	6,16-7,64	7,64-9,12	9,12-10,6	10,6-12,08	12,08-13,56
y i	3,94	5,42	6,9	8,38	9,86	11,34	12,82
ni	5	12	14	10	4	3	2

Графически статистические данные представляем гистограммой и полигоном относительных частот, а также кумулятой. При построении гистограммы на оси абсцисс откладывают интервалы разбиения признака Х, при построении полигона – середины интервалов разбиения признака х _i . По оси ординат в каждом случае откладывают ординаты w_i/h.. Полученную ступенчатую фигуру называют гистограммой, ломаную линию – полигоном.