Выборочное среднее квадратическое отклонение равно

1,19

Вычислим исправленную выборочную дисперсию

S ² = 1,4458

Вычислим исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение:

1,2024. Обозначим результат S _x = 1,2 .

Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы.

Средняя скорость подвигания очистного забоя по выборке равна 2,5 м/сут. Средний разброс скорости подвигания очистного забоя вокруг среднего по выборке равен 1,2 м/сут.

Б) Аналогично определяем числовые характеристики выборки по признаку У . Выберем условный нуль С = 109 ; h = 14.

i	интервалы	уi	ni	ui	ni ui	ni ui2	ni (ui + 1)2
1	60 - 74	67	10	-3	-30	90	40
2	74 - 88	81	9	-2	-18	36	9
3	88-102	95	10	-1	-10	10	0
4	102-116	109	6	0	0	0	6
5	116-130	123	5	1	5	5	20
6	130-144	137	4	2	8	16	36
7	144-158	151	5	3	15	45	80
итого			49		-30	202	191

Проверка: 191 = 202 + 2·(–30) + 49 – верно.

Из таблицы находим условные моменты:

М₁ = -30/49 = –0,6122;

М₂ = 202/49 = 4,1224;

Выборочная средняя равна: = –0,612214 + 109 = 100,43

Выборочная дисперсия равна:

D_в = [M₂ - (M₁)²]·h² = [4,1224 – (-0,6122)²]·14² = 734,5306

Выборочное среднее квадратическое отклонение равно

=27,1022.

S ² = 749,8333

27,383 . Обозначим результат S _у = 27,383 .

Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы.

Средняя величина опускания кровли по выборке равна 100,43 мм. Средний разброс величины опускания кровли вокруг среднего по выборке равен 27,383мм.

2. Проверим гипотезу о нормальном распределении признака Х. Выдвинем гипотезы

Н₀: Признак Х подчиняется нормальному закону распределения

Н₁: Признак Х не подчиняется нормальному закону распределения

Для проверки гипотез используем критерий Пирсона. В качестве исходных данных берем интервальный ряд признака Х, полученный в п1. решения данной задачи и характеристики выборки признака Х, найденные в п.:

=2,5; S_x =1,2

Далее заполним таблицу по формулам:

z _i = (х _i – )/S_х ; z _i+1 = (х _i+1 – )/S_х .

Теоретические частоты найдем по формуле: n_i^*=n[Ф(z_i+1) – Ф(z_i)], где функция Ф(z) вычисляется по таблице.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Х i	Х i+1	n i	z i	z i+1	Ф(z i)	Ф(zi+1)	ni*	N i*	N i	В i	V i
0.8	1.4	14	– 	-0,92	-0.5	-0.3203	8.8033	8.8033	14	3.0677	22.2644
1.4	2	7	-0.92	-0.42	-0.3203	-0.1615	7.7813	7.7813	7	0.0785	6.2971
2	2.6	5	-0.42	0.08	-0.1615	0.0332	9.5425	9.5425	5	2.1624	2.6198
2.6	3.2	7	0.08	0.58	0.0332	0.2202	9.1610	9.1610	7	0.5098	5.3488
3.2	3.8	6	0.58	1.08	0.2202	0.3607	6.8847	6.8847	6	0.1137	5.2290
3.8	4.4	8	1.08	1.58	0.3607	0.4433	4.0502	6.8272	10	1.4745	14.6473
4.4	5	2	1,58	+ 	0.4433	0.5000	2.7770
Итого		46					49		49	7.4065	56.4065

После заполнения 8–го столбца отмечаем, что два последних элемента в этом столбце меньше пяти. Поскольку в критерии Пирсона требуется, чтобы в каждом интервале было не меньше пяти единиц, то объединим частоты трех последних интервалов N_i^* – для 8–го столбца; N_i – для 3–го столбца.

11–ый столбец заполняем по формуле: В_i = .

12–ый столбец – контрольный. Он вычисляется по формуле: V_i =

Сделаем проверку: 49 + 7,4065 = 56,4065. Верно.

Запишем наблюдаемое значение критерия: ²_набл = 7,4065.

Выберем уровень значимости ошибки =0,01.

Число степеней свободы равно k = l – 3 , где l – число интервалов после объединения. В нашем случае число интервалов после объединения l =5. Тогда число степеней свободы равно k = 5 – 3 = 2. По таблице критических точек ² находим ²_кр(0,05; 2) = 6,0.

Сравниваем: ²_набл > ²_кр .

Следовательно, необходимо отвергнуть гипотезу о нормальном законе распределения признака Х .

5. Для признаков X и Y построим корреляционное поле в системе координат ХОУ, используя исходную таблицу.

Корреляционное поле на данном рисунке характеризуется набором из 49 точек, причем можно заметить, что с увеличением Х признак У в среднем убывает. Анализ полученного поля рассеяния позволяет предполагать наличие прямой корреляционной зависимости между признаками Х и У.

6. Уравнение линейной регрессии имеет вид: у = кх + b, где параметры к и b определяются по методу наименьших квадратов из условия минимального отклонения исходных точек корреляционного поля от прямой регрессии. Параметры к и b вычисляются по формулам:

Для расчета этих величин заполним таблицу.

номер	X	Y	х2	у2	ху
1	0,8	140	0,64	19600	112
2	0,8	154	0,64	23716	123,2
3	1	124	1	15376	124
4	1	140	1	19600	140
5	1	154	1	23716	154
6	1,2	124	1,44	15376	148,8
7	1,2	134	1,44	17956	160,8
8	1,2	146	1,44	21316	175,2
9	1,2	158	1,44	24964	189,6
10	1,4	104	1,96	10816	145,6
11	1,4	114	1,96	12996	159,6
12	1,4	124	1,96	15376	173,6
13	1,4	134	1,96	17956	187,6
14	1,4	146	1,96	21316	204,4
15	1,6	82	2,56	6724	131,2
16	1,6	102	2,56	10404	163,2
17	1,6	126	2,56	15876	201,6
18	1,8	114	3,24	12996	205,2
19	2	94	4	8836	188
20	2	106	4	11236	212
21	2	124	4	15376	248
22	2,2	76	4,84	5776	167,2
23	2,2	108	4,84	11664	237,6
24	2,4	84	5,76	7056	201,6
25	2,4	96	5,76	9216	230,4
26	2,6	88	6,76	7744	228,8
27	2,8	74	7,84	5476	207,2
28	2,8	94	7,84	8836	263,2
29	2,8	104	7,84	10816	291,2
30	3	86	9	7396	258
31	3,2	74	10,24	5476	236,8
32	3,2	96	10,24	9216	307,2
33	3,6	64	12,96	4096	230,4
34	3,6	74	12,96	5476	266,4
35	3,6	96	12,96	9216	345,6
36	4	62	16	3844	248
37	4	84	16	7056	336
38	4,4	66	19,36	4356	290,4
39	4,4	94	19,36	8836	413,6
40	4,8	80	23,04	6400	384
41	3,1	99	9,61	9801	306,9
42	3,6	65	12,96	4225	234
43	3,5	68	12,25	4624	238
44	3,3	96	10,89	9216	316,8
45	4,1	60	16,81	3600	246
46	4	84	16	7056	336
47	4,4	60	19,36	3600	264
48	4,4	94	19,36	8836	413,6
49	4,8	79	23,04	6241	379,2
Итого	126,2	4949	396,64	536679	11425,7

Отсюда получим:

Следовательно, параметры уравнения регрессии равны:

Окончательно, уравнение линейной регрессии имеет вид :

у = –18,501х + 148,65 .

Определим выборочный коэффициент корреляции по формуле

r = kS_x / S_y . Получим r = – 0,815.

Проверим коэффициент корреляции на значимость.

Основная гипотеза H ₀ :, r_г = 0

Конкурирующая гипотеза H ₀ : r_г  0.

Для проверки гипотезы H ₀ вычислим наблюдаемое значение критерия:

Т_набл – 9,64

По таблице критических точек распределения Стьюдента найдем критическое значение критерия при уровне значимости ошибки  = 0,05 и числе степеней свободы k = n – 2 = 49 – 2 = 47 :

t_кр = t_кр (0,05; 47) = 2,01. Сравнивая, получим, что Т_набл > t_кр .

Следовательно, нулевую гипотезу следует отвергнуть. Это значит, что коэффициент корреляции значимо отличается от нуля, и признаки Х и У коррелированы.

Найдем коэффициент детерминации, который для случая линейной регрессии равен квадрату коэффициента корреляции: R = r² . Получим:

R² = (–0,815)² = 0,66. Он говорит о том, что 66% вариации величины опускания кровли объясняется вариацией скорости подвигания очистного забоя. Для определения типа связи между признаками используем шкалу Чеддока.

Для нашего случая R² = 0,66. Поэтому на основании шкалы Чеддока делаем вывод о том, что между величиной опускания кровли и скоростью подвигания очистного забоя существует заметная связь.

8. По уравнению регрессии у = –18,501х + 148,65 построим прямую в той же системе координат, что и корреляционное поле. С этой целью рассчитаем координаты двух точек: х₁ =1 ; у₁ = 130,2

х₂ = 4 , у₂ = 74,7

Построим точки на графике и соединим их прямой. Получим линию регрессии.

9. Вычислим погрешности уравнения регрессии.

а) Абсолютная погрешность уравнения равна:

S_ур = 15,879

б) Относительная погрешность уравнения равна:

Отсюда видно, что относительная ошибка вычислений по полученному уравнению регрессии составляет 15,7%.

9. Используем полученное уравнение регрессии для точечного прогноза У при X = 1,5 м/сут .

у_{прогноз} = –18,5011,5 + 148,65 = 120,91 мм.

Следовательно, при скорости подвигания очистного забоя 1,5 м/сут величина опускания кровли прогнозируется равной 120,91 мм. Ошибка прогноза составляет не более 15,7% .