4. Пример выполнения контрольной работы по статистике для студентов заочной формы обучения

ЗАДАНИЕ В нижеследующей таблице собраны сведения по ряду шахт.

Обозначения : Х – скорость подвигания очистного забоя, м/сут;

У – величина опускания кровли, мм.

Х	0,8	0,8	1	1	1	1,2	1,2	1,2	1,2	1,4
У	140	154	124	140	154	124	134	146	158	104
Х	1,4	1,4	1,4	1,4	1,6	1,6	1,6	1,8	2	2
У	114	124	134	146	82	102	126	114	94	106
Х	2	2,2	2,2	2,4	2,4	2,6	2,8	2,8	2,8	3
У	124	76	108	84	96	88	74	94	104	86
Х	3,2	3,2	3,6	3,6	3,6	4	4	4,4	4,4	4,8
У	74	96	64	74	96	62	84	66	94	80
Х	3,1	3,6	3,5	3,3	4,1	4	4,4	4,4	4,8
У	99	65	68	96	60	84	60	94	79

Требуется выполнить статистическое исследование в следующем объеме:

1. Провести первичную обработку статистических данных. Результаты представить в виде таблиц. Построить статистические ряды для каждого признака.

2. Построить гистограмму и полигон частот (или относительных частот) по каждому признаку.

3. Используя метод “условного нуля”, определить числовые характеристики выборок по каждому признаку: выборочное среднее; выборочную дисперсию; исправленную выборочную дисперсию; исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение. Дать объяснение результатам.

4. При заданном уровне значимости  проверить гипотезу о нормальном законе распределения генеральных совокупностей по признаку Х или признаку У.

5. Для признаков X и Y построить корреляционное поле и дать предварительный анализ зависимости между признаками.

6. Определить параметры уравнения линейной регрессии.

7. Определить коэффициент корреляции и проверить его значимость. Найти коэффициент детерминации. Сделать вывод о наличии связи между признаками, используя шкалу Чеддока.

8. Построить полученную линию регрессии.

9. Определить абсолютную и относительную среднеквадратическую погрешность уравнения регрессии.

10. Используя полученное уравнение регрессии, дать точечный прогноз по признаку У при заданном значении признака X .

• В пункте 4) взять  = 0,01 и проверить на нормальность закона распределения признака Х .

• в пункте 10) сделать прогноз при Х =1,5 м.

Образец выполнения задания

1. А) Для признака Х определим наибольшее и наименьшее значение признака: X_min=0,8 ; X_max=4,8 ; объем выборки n = 49.

Число интервалов разбиения определим по формуле Стэрджесса:

К =1 + 3,322 lg n = 1 + 3,322 lg 49 = 6,61  7.

Найдем шаг разбиения h = (Х_max – X_min) / К.

В данном случае h = (4,8 – 0,8) / 7 = 0,6.

Произведем группировку данных для признака Х. Для этого подсчитаем, сколько значений признака Х попадет в каждый из интервалов разбиения.

Результаты группировки заносим в табл.1, которая представляет статистический ряд по признаку Х.

Таблица 1

Интервал	0,8 –1,4	1,4 – 2	2 – 2,6	2,6 – 3,2	3,2 – 3,6	3,6 – 4,4	4,4 – 5
Середина интервала х i	1,1	1,7	2,3	2,9	3,5	4,1	4,7
Частота ni	14	7	5	7	6	8	2

Проверка :14+7+5+7+6+8+2=49. Верно.

Б) Для признака У определим наибольшее и наименьшее значение признака: У_min=60 ; У_max=158 ; объем выборки n = 49.

Найдем шаг разбиения h = (У_max – У_min) / К.

В данном случае h = (158-60 )/ 7 = 14.

Произведем группировку данных для признака У. Результаты группировки заносим в табл.2, которая представляет статистический ряд по признаку У.

Таблица 2

Интервал	60 - 74	74 - 88	88-102	102-116	116-130	130-144	144-158
y i	67	81	95	109	123	137	151
ni	10	9	10	6	5	4	5

Проверка : 10+9+10+6+5+4+5=49. Верно.

2. А) Построим полигон и гистограмму частот по признаку Х .

Б ) Построим полигон и гистограмму частот по признаку У

2. А) Определим числовые характеристики выборки по признаку Х.

Используем метод “условного нуля ”. Выберем условный нуль из статистического ряда признака : С = 2,9 .

Переходим к условным вариантам по формуле: u_i = (x_i –C)/h, где h = 0,6.

Далее заполняем специальную таблицу.

i	интервалы	xi	ni	ui	ni ui	ni ui2	ni (ui + 1)2
1	0,8 -1,4	1.1	14	-3	-42	126	56
2	1,4 -2	1.7	7	-2	-14	28	7
3	2 -2,6	2.3	5	-1	-5	5	0
4	2,6 - 3,2	2.9	7	0	0	0	7
5	3,2 - 3,6	3.5	6	1	6	6	24
6	3,6 - 4,4	4.1	8	2	16	32	72
7	4,4 - 5	4.7	2	3	6	18	32
итого			49		-33	215	198

Для проверки правильности вычислений используем тождество:

n_i(u_i+1)² = n_iu_i² + 2n_iu_i + n

Получим: 198 = 215 + 2·(–33) + 49

198 = 198 – верно.

Из таблицы находим условные моменты:

М₁ = n_iu_i / n = -33/49 = –0,6735

М₂ = n_iu_i² / n = 198/49 = 4,3878;

Выборочная средняя равна: = М₁·h + C = –0,67350,6 + 2,9 = 2,50

Выборочная дисперсия равна:

D_в = [M₂ - (M₁)²]·h² = [4,3878 – (-0,6735)²]·0,6² = 1,4163