5.9 Оценка погрешности модели

Сравнение различных моделей производится по следующим позициям:

• по коэффициентам детерминации (теоретическим) и сравнение их с эмпирическим коэффициентом детерминации. Чем больше коэффициент R²_теор и чем ближе он к R²_эмпир, тем представленное уравнение регрессии лучше описывает зависимость между признаками Х и У.

• По средней относительной погрешности аппроксимации:

(11)

где y_i^теор – индивидуальные значения результативного признака У, рассчитанные по уравнению регрессии: y_i^теор=f(x_i); у_i – значения признака У из выборки. Чем меньше средняя относительная погрешность аппроксимации, тем модель лучше описывает зависимость между признаками. Для качественной оценки модели по относительной погрешности аппроксимации используют следующую шкалу:

	< 10%	10 –20%	20– 50%	50%
Вывод	Высокая точность прогноза	Хорошая точность прогноза	Удовлетворительная точность прогноза	Неудовлетворительная точность прогноза

• По средней квадратической погрешности уравнения:

(12)

Для расчета перечисленных характеристик нужно после того, как было получено уравнение регрессии (линейное или нелинейное), заполнить следующую таблицу:

i	xi	уi	yiтеор	δi=yiтеор – yi	δi2	δi / yi
1
2
. . .
n
Сумма

5.10 Задача 1. Установления корреляционной зависимости

Продолжим решение задачи 1. Выполним пункт 6.

Корреляционное поле имеет вид:

Для построения эмпирической ломаной регрессии сделаем расчет точек , где х_j – середины интервалов разбиения признака Х; – средние групповые значения признака У в каждом интервале признака Х: = (Σ y_i)/n_j . Интервалы по признаку Х возьмем из п. 2.1.4. Заполним таблицу.

Интервал по Х	0,85-0,95	0,95-1,05	1,05-1,15	1,15-1,25	1,25-1,35	1,35-1,45	1,45-1,55
х j	0,9	1	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5
nj	6	7	20	6	5	3	3
у i	4,8 5,6 3,2 3,7 4,1 6,2	5,6 6,8 6,9 6,1 6,4 3,4 7,8	6,9 9,6 5,1 5,8 7,9 4,9 6,8 10,1 7,6 7,7 8,4 8,5 8,7 7,1 8,2 6,1 6,2 6,4 6,5 9,8	6 8,3 3,5 7,1 5,5 6,2	6,4 6,1 8 8,2 10,7	9,5 12,5 13,5	9,2 11,4 10,9
	4,6	6,14	7,42	6,1	7,88	11,83	10,5

Построим эмпирическую ломаную по точкам .

Анализ корреляционного поля и эмпирической ломаной позволяет предполагать наличие прямой положительной корреляционной зависимости между признаками Х и У.

Выполним пункт 7. Для расчета эмпирического коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения используем данные (рассчитаны в п. 2.2.4) и – средние групповые значения признака У .

Найдем межгрупповую дисперсию результативного признака У

D_межгр = ((4,6–7,285)² + (6,14–7,285)² + (7,42–7,285)² +

+ (6,1–7,285)²+(7,88–7,285)²+(11,83–7,285)²+(10,5–7,285)²) =3,119

Эмпирический коэффициент детерминации равен:

Следовательно, 62,7% вариации средней за месяц производительности рабочего объясняется вариацией мощности пласта.

Эмпирическое корреляционное отношение равно Оно указывает на значительную корреляционную связь между признаками Х и У.

Решим пункт 8. Определим параметры уравнения линейной регрессии по формулам (3), (5), пункт 2.5.4.

С этой целью, используя исходные данные (условие задачи, пункт 2.1.4), создадим таблицу. Ее заполнение и вычисление рекомендуется выполнять в Excel.

i	X	Y	X^2	Y^2	XY		i	X	Y	X^2	Y^2	XY
1	1.13	8.4	1.2769	70.56	9.492		26	1.15	6.2	1.3225	38.44	7.13
2	1.14	7.1	1.2996	50.41	8.094		27	1.12	4.9	1.2544	24.01	5.488
3	1.13	7.7	1.2769	59.29	8.701		28	1.15	6.4	1.3225	40.96	7.36
4	1.13	7.6	1.2769	57.76	8.588		29	1.15	6.1	1.3225	37.21	7.015
5	1.14	8.2	1.2996	67.24	9.348		30	0.88	5.6	0.7744	31.36	4.928
6	1.09	6.9	1.1881	47.61	7.521		31	1.28	6.4	1.6384	40.96	8.192
7	1.53	10.9	2.3409	118.81	16.68		32	1.12	6.8	1.2544	46.24	7.616
8	1.5	11.4	2.25	129.96	17.1		33	1.2	6	1.44	36	7.2
9	1.44	13.5	2.0736	182.25	19.44		34	1.24	5.5	1.5376	30.25	6.82
10	1.39	9.5	1.9321	90.25	13.21		35	0.85	4.8	0.7225	23.04	4.08
11	1.5	9.2	2.25	84.64	13.8		36	1.21	3.5	1.4641	12.25	4.235
12	1.35	10.7	1.8225	114.49	14.45		37	1.12	10.1	1.2544	102.01	11.31
13	1.4	12.5	1.96	156.25	17.5		38	1.24	6.2	1.5376	38.44	7.688
14	1.11	7.9	1.2321	62.41	8.769		39	0.91	3.2	0.8281	10.24	2.912
15	0.91	3.7	0.8281	13.69	3.367		40	1	7.8	1	60.84	7.8
16	0.96	5.6	0.9216	31.36	5.376		41	0.94	4.1	0.8836	16.81	3.854
17	0.96	6.8	0.9216	46.24	6.528		42	1.11	5.1	1.2321	26.01	5.661
18	0.96	6.9	0.9216	47.61	6.624		43	1.13	8.5	1.2769	72.25	9.605
19	1.23	7.1	1.5129	50.41	8.733		44	1.13	8.7	1.2769	75.69	9.831
20	0.97	6.1	0.9409	37.21	5.917		45	1.33	8	1.7689	64	10.64
21	1.11	5.8	1.2321	33.64	6.438		46	0.94	6.2	0.8836	38.44	5.828
22	0.99	6.4	0.9801	40.96	6.336		47	1.2	8.3	1.44	68.89	9.96
23	1	3.4	1	11.56	3.4		48	1.1	9.6	1.21	92.16	10.56
24	1.33	8.2	1.7689	67.24	10.91		49	1.15	9.8	1.3225	96.04	11.27
25	1.15	6.5	1.3225	42.25	7.475		50	1.29	6.1	1.6641	37.21	7.869
							Сумма	57.49	361.9	67.462	2873.9	428.6
							Средние	1.1498	7.238	1.3492	57.477	8.5727

Из последней строки получим:

Подставив в формулу (5) пункта 2.5.4, получим:

Сделаем проверку:

Следовательно, уравнение линейной регрессии имеет вид :

= 9,21х – 3,36

Пункт 9. Определим выборочный коэффициент корреляции по формуле

Проверим коэффициент корреляции на значимость.

Выдвинем гипотезы:

Основная гипотеза H ₀ :, r_г = 0

Конкурирующая гипотеза H ₁ : r_г  0.

Для проверки гипотезы H ₀ вычислим наблюдаемое значение критерия:

Т_набл

По таблице критических точек распределения Стьюдента (Приложение 6) найдем критическое значение критерия при уровне значимости = 0,05 и числе степеней свободы k = n – 2 = 50 – 2 = 48

t_кр = t_кр (0,05; 48) = 2,01. Сравнивая, получим, что Т_набл > t_кр .

Следовательно, нулевую гипотезу следует отвергнуть. Это значит, что коэффициент корреляции значимо отличается от нуля и признаки Х и У коррелированны. Таким образом, у нас нет оснований отбросить гипотезу о наличии линейной корреляционной зависимости между признаками Х и У.

Пункт 10. Исходя из вида корреляционного поля и эмпирической ломаной регрессии предположим, что признаки Х и У связаны параболической зависимостью . Для определения коэффициентов a, b, с заполним таблицу, используя Excel.

Для краткости записей расчетную таблицу приводим не полностью.

i	X	Y	X^2	X^3	X^4	XY	X^2Y
1	1.13	8.4	1.2769	1.443	1.6305	9.492	10.73
2	1.14	7.1	1.2996	1.482	1.689	8.094	9.227
3	1.13	7.7	1.2769	1.443	1.6305	8.701	9.832
4	1.13	7.6	1.2769	1.443	1.6305	8.588	9.704
5	1.14	8.2	1.2996	1.482	1.689	9.348	10.66
6	1.09	6.9	1.1881	1.295	1.4116	7.521	8.198
7	1.53	10.9	2.3409	3.582	5.4798	16.68	25.52
8	1.5	11.4	2.25	3.375	5.0625	17.1	25.65
9	1.44	13.5	2.0736	2.986	4.2998	19.44	27.99
10	1.39	9.5	1.9321	2.686	3.733	13.21	18.35
11	1.5	9.2	2.25	3.375	5.0625	13.8	20.7
…	…	…	…	…	…	…	…
49	1.15	9.8	1.3225	1.521	1.749	11.27	12.96
50	1.29	6.1	1.6641	2.147	2.7692	7.869	10.15
Сумма	57.49	361.9	67.4615	80.785	98.6948	428.634	518.2944

Используя формулу (9), пункт 2.5.7, составим линейную систему:

50a+	57,49b+	67,4615c	=	361,9
57,49a+	67,4615b+	80,7851c	=	428.634
67,4615a+	80,7851b+	98,6948c	=	518.2944

Решим систему по правилу Крамера. Вычислим главный и вспомогательные определители системы:

	50	57.49	67.4615
D =	57.49	67.4615	80.7851	= 3.8868
	67.4615	80.7851	98.6948
	361.9	57.49	67.4615
D1 =	428.634	67.4615	80.7851	= 21.5367
	518.2944	80.7851	98.6948
	50	361.9	67.4615
D2 =	57.49	428.634	80.7851	= -23.8198
	67.4615	518.2944	98.6948
	50	57.49	361.9
D3 =	57.49	67.4615	428.634	= 25.1881
	67.4615	80.7851	518.2944

Запишем решение системы по правилу Крамера:

a = D1/D=5,541; b = D2/D=–1,128; c = D3/D=6,48.

Следовательно, уравнение нелинейной параболической регрессии имеет вид :

= 5,541 –6,128х +6,48х² .

Пункт 11. Построим полученные линии регрессии в одной системе координат.

Здесь сплошная линия представляет линейную регрессию, а пунктирная линия – параболическую регрессию.

Пункт 12. Для всех моделей рассчитаем теоретический коэффициент детерминации и теоретическое корреляционное отношение; среднюю квадратическую погрешность уравнения; среднюю относительную погрешность аппроксимации.

Используем уравнение линейной регрессии = 9,21х – 3,36

и параболической регрессии = 5,541 –6,128х +6,48х², вычислим теоретические значения признака У. Заполним таблицы.

Для краткости записей расчетные таблицы приводим не полностью.

а) Для линейной регрессии = 9,21х – 3,36

i	xi	уi	yiтеор	δi=yiтеор – yi	δi2	δi / yi
1	1.13	8.4	7.0473	-1.3527	1.8298	0.1610	0.0364
2	1.14	7.1	7.1394	0.0394	0.0016	0.0055	0.0097
3	1.13	7.7	7.0473	-0.6527	0.4260	0.0848	0.0364
…	…	…	…	…	…	…	…
49	1.15	9.8	7.2315	-2.5685	6.5972	0.2621	0.0000
50	1.29	6.1	8.5209	2.4209	5.8608	0.3969	1.6458
Сумма	57.49	361.9	361.4829	-0.4171	139.096	10.8476	115.3217

Для дальнейших расчетов используем формулы (8), (11), (12),

где D_общ = σ_y² = 2,2557² = 5,088 .

Получим: D_{объясн уравн} = 115,3217/50 = 2,306;

теоретический коэффициент детерминации

R² = 2,306/5,088 =0,453

теоретическое корреляционное отношение

средняя относительная погрешность аппроксимации

ε = 10,8476100/50= 21,7%;

средняя квадратическая погрешность уравнения

т/вых.

б) Для параболической регрессии = 5,541 –6,128х +6,48х²

i	xi	уi	yiтеор	δi=yiтеор – yi	δi2	δi / yi
1	1.13	8.4	6.8907	-1.5093	2.2781	0.1797	0.1206
2	1.14	7.1	6.9765	-0.1235	0.0153	0.0174	0.0684
3	1.13	7.7	6.8907	-0.8093	0.6550	0.1051	0.1206
…	…	…	…	…	…	…	…
49	1.15	9.8	7.0636	-2.7364	7.4879	0.2792	0.0304
50	1.29	6.1	8.4192	2.3192	5.3789	0.3802	1.3953
Сумма	57.49	361.9	361.9018	0.0018	136.693	10.6881	117.7176

Отсюда получим:

D_{объясн уравн} = 117,7176/50 = 2,354;

теоретический коэффициент детерминации

R² = 2,354/5,088 =0,463

теоретическое корреляционное отношение

средняя относительная погрешность аппроксимации

ε = 10,6881100/50= 21,4%;

средняя квадратическая погрешность уравнения

т/вых.

Сравнив результаты, можно сделать вывод, что нелинейная параболическая модель регрессии незначительно улучшает результаты, поэтому окончательно можно оставить линейную модель зависимости между мощностью пласта Х и производительностью рабочего У:

= 9,21х – 3,36 .

Пункт 13. Используя линейное уравнение регрессии дадим точечный прогноз для У при Х = 1,8 м: = 9,211,8 – 3,36 = 13,2 т/вых.

Следовательно, при мощности пласта 1,8 м средняя производительность труда рабочего очистного забоя для струговых установок на антрацитовых шахтах прогнозируется равной 13,2 т/вых. Ошибка прогноза составляет не более 21,7% .