5.5 Проверка коэффициента корреляции на значимость.

Пусть признаки Х и У распределены нормально. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n и по ней найден выборочный коэффициент корреляции r_в . Требуется проверить гипотезу о значимости генерального коэффициента корреляции r_г .

Выдвигаются гипотезы

Основная гипотеза Н₀ : r_г = 0

Конкурирующая гипотеза Н₁ : r_г ≠ 0

Для проверки гипотезы H ₀ вычисляется наблюдаемое значение критерия:

.

Этот критерий является случайной величиной, которая подчиняется закону распределения Стьюдента с k = n – 2 степенями свободы. Критическая область является двусторонней. По таблице критических точек распределения Стьюдента (Приложение 6) определяется критическое значение критерия при выбранном уровне значимости ошибки  и числе степеней свободы k :

t_кр = t_кр (α; k).

Если Т_набл > t_кр , то нулевая гипотеза отвергается. Это значит, что коэффициент корреляции значимо отличается от нуля и признаки Х и У коррелированы.

Если Т_набл < t_кр , то нулевая гипотеза не отвергается. Это значит, что коэффициент корреляции незначимо отличается от нуля и признаки Х и У некоррелированы.

5.6 Теоретический коэффициент детерминации и теоретическое корреляционное отношение

Теоретический коэффициент детерминации и теоретическое корреляционное отношение определяются по уравнению регрессии :

, где D_{обїясн уравн регр} – дисперсия результативного признака У, объясненная уравнением регрессии; D_общ – общая дисперсия результативного признака У .

(8)

n – объем выборки;

y_i – индивидуальные значения результативного признака У;

– среднее значение признака У;

y_i^теор – индивидуальные значения результативного признака У, рассчитанные по уравнению регрессии: y_i^теор=f(x_i); если уравнение регрессии линейное, то y_i^теор=kx_i + b, а корреляционное отношение совпадает с модулем коэффициента корреляции η = r_в , коэффициент детерминации равен R²= r_в² .

Коэффициент детерминации характеризует тесноту связи между признаками. В количественной форме он указывает какая часть общей дисперсии результативного признака У объясняется вариаций признака Х. Например, если построена статистическая модель, описывающая зависимость объема суточной добычи (У) от мощности пласта (Х) и коэффициент детерминации равен 0,56, то это значит, что 56% дисперсии объема суточной добычи объясняется по выбранной модели вариацией мощности пласта.

Для получения выводов о практической значимости синтезированной модели используются качественные оценки, которые даются на основе шкалы Чеддока [8].

R2	0,1 – 0,3	0,3 – 0,5	0,5 – 0,7	0,7 – 0,9	0,9 – 0,99
Характеристика силы связи	слабая	умеренная	заметная	высокая	весьма высокая

5.7 Нелинейная корреляция

Если график регрессии – кривая линия, то корреляцию называют криволинейной. Параметры уравнения криволинейной регрессии находят по методу наименьших квадратов, а в некоторых случаях сводят задачу к линейной регрессии путем введения соответствующих замен. Ниже приводятся наиболее типичные случаи криволинейной регрессии.

а) Параболическая зависимость

Параметры регрессии a, b, c находятся из решения системы:

(9)

б) Гиперболическая зависимость

Делаем замену и сводим задачу к линейной регрессии . Параметры k и b находятся по формулам линейной регрессии ( с точностью до обозначений):

,

. (10)

где .

в) Логарифмическая зависимость

Делаем замену и сводим задачу к линейной регрессии .

г) Экспоненциальная зависимость

Делаем замену z = e^x и сводим задачу к линейной регрессии .

д) Степенная зависимость

Делаем замену z = x^m и сводим задачу к линейной регрессии .

Теснота связи между результативным признаком Х и фактором У при нелинейной форме их связи оценивается при помощи коэффициента детерминации R², который находится по той же формуле (8) из п.5.6, что и для линейной связи. Качественная оценка тесноты связи производится по шкале Чеддока.

Аналогом коэффициента корреляции для нелинейного случая служит корреляционное отношение .