4.5 Проверка гипотезы о виде распределения генеральной совокупности по критерию Колмогорова-Смирнова

Пусть эмпирическое распределение задано интервальным статистическим рядом

Интервал	х 1 – х 2	х 2 – х 3	…	х i–1 – х i	…	х m –1 – х m
ni	n 1	n 2	…	n i	…	n m

Объем выборки равен n = n ₁+ n ₂+…+ n _m .

Требуется при заданном уровне значимости  проверить, подчиняется ли генеральная совокупность выбранному теоретическому закону распределения f(x).

Выдвинем гипотезы

Н₀: Признак Х подчиняется закону распределения f(x)

Н₁: Признак Х не подчиняется закону распределения f(x)

Для проверки сформулированных гипотез при помощи критерия Колмогорова-Смирнова необходимо выполнить ряд расчетов.

а) Определяют по выборке параметры выбранного теоретического распределения f(x). Пусть r - число параметров распределения.

б) Для каждого интервала Х определяют вероятности попадания признака Х в данный интервал. Для этого нужно использовать формулу из теории вероятности

.

Здесь f(x) – дифференциальная функция распределения, F(x) – интегральная функция распределения. Для многих видов распределения имеются таблицы значений f(x) и F(x).

в) Определяют теоретические частоты

.

г) Находят накопленные частоты: для эмпирических частот – nF_n(x) ; для теоретических частот – nF(x). Для этого следует для каждого интервала последовательно складывать частоты, начиная с первого интервала и заканчивая текущим интервалом. Результаты расчетов удобно записать в таблицу.

д) Далее вычисляют модуль разности накопленных частот в каждом интервале nF_n(x) – nF(x) = nF_n(x) – F(x).

е) Находят наибольший из полученных модулей

n D = max{nF_n(x) – F(x)}.

ж) Определяют наблюдаемое значение критерия согласия Колмогорова

.

Этот критерий является случайной величиной, которая подчиняется закону распределения Колмогорова.

з) По таблице критических точек (приложение 8), используя заданный уровень значимости  находят критическое значение критерия _кр = ().

е) Если в результате сравнения окажется _набл < _кр, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу H₀; если же _набл > _кр, то нулевая гипотеза H₀ отвергается; принимается гипотеза H₁.

Замечание: в критерии Колмогорова рекомендуется брать более “жесткий” уровень значимости   0,1.

4.6 Примеры

Пример 1.

Предполагается, что применение новой технологии в разработке пластовых месторождений приведет к увеличению качества угля. Результаты контроля по качеству добытого угля двумя бригадами, работающими в аналогичных условиях, но использующими разные технологии, приведены ниже. Замеры велись по проценту засорения угля, вырабатываемого одной бригадой за смену по старой технологии (признак Х₁) и новой технологии (признак Х₂).

Х₁ (в %): 13; 10,5; 11; 12; 20; 18,8; 10

Х₂ (в %): 6; 13; 21; 7; 9; 9; 5; 10

Подтверждают ли эти результаты предположение об эффективности применения новой технологии? Принять  = 0,01 .

Предположить, что выборки получены из нормально распределенных генеральных совокупностей.

Проведем первичную обработку статистических данных, используя формулы для несгруппированного ряда данных (раздел 2.2, случай а).

Получим по признаку Х₁ : объем выборки n=7;

Выборочная средняя (13+10,5+11+12+20+18,8+10)/7= 13,61

(13²+10,5²+11²+12²+20²+18,8²+10²)/7= 199,67

Выборочная дисперсия D_в = 199,67 –13,61² = 14,44

Исправленная СКО S²_x1 =14,447/6 = 16,84

Параметры признака Х₂ рассчитываются аналогично:

n=8; 10; 116,625 ;

D_в = 116,625 – 10² = 16,625 : S²_x2 =16,6258/7 = 19 .

Вопрос эффективности применения новой технологии сводится к проверке статистической гипотезе о равенстве двух средних (математических ожиданий) генеральных совокупностей. Для корректного решения необходимо убедиться в равенстве дисперсий указанных генеральных совокупностей (п. 2.4.1).

Выдвинем основную и альтернативную гипотезы.

Н₀: D(Х₂) = D(Х₁)

Н₁: D(Х₂) > D(Х₁)

Для проверки гипотез по результатам выборок вычисляем наблюдаемое значение критерия (отношение большей дисперсии к меньшей):

Критическая область является правосторонней. Критическая точка находится по таблице критических точек распределения Фишера–Снедекора (приложение 7)

при  =0,01; k₁ = 8 –1 = 7; k₂ = 7 –1 = 6

F_кр=F(0,01;7;6) = 8,26

В результате сравнения получим F_набл < F_кр. Значит, нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу H₀. Следовательно, принимаем гипотезу о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей.

Для выяснения эффективности применения новой технологии проверим статистическую гипотезу о равенстве двух средних генеральных совокупностей (п. 2.4.2).

Выдвинем основную и альтернативную гипотезы.

Н₀: M(Х₁) = M(Х₂)

Н₁: M(Х₁)  M(Х₁)

Принятие нулевой гипотезы Н₀ даст основания считать, что новая система технологии добычи угля не приводит к изменению засорения угля.

Принятие гипотезы H₁ будет значить, что новая система технологии приводит к уменьшению засорения угля, и, следовательно, она эффективна.

Для проверки гипотез по результатам выборок вычисляем наблюдаемое значение критерия

Этот критерий является случайной величиной, которая подчиняется закону распределения Стьюдента с k =7+8–2=13 степенями свободы.

Критическая область является правосторонней. Критическая точка находится по таблице критических точек распределения Стьюдента (приложение 6, односторонняя критическая область)

t_кр = t(0,01;13) = 2,65.

В результате сравнения получим T_набл < t_кр . Значит, нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу H₀. Следовательно, новая система технологии не приводит к изменению качества угля по засорению. Она не эффективна.

Пример 2

При уровне значимости =0,05 проверить гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокупности признака У из задачи 1 (п. 2.3) , используя критерий Пирсона.

Проверим гипотезу о нормальном распределении признака Y. Используем критерий Пирсона.

Нормальный закон распределения является двухпараметрическим распределением с параметрами а и . Значит, r = 2. Из выборки по У возьмем оценки параметров распределения:

а  =7,284;   S _у = 2,254 .

Для каждого интервала признака У необходимо вычислить вероятности попадания признака в данный интервал. Используем готовую формулу из теории вероятности для величины, распределенной нормально:

.

Здесь используются нормированная нормальная случайная величина . Функция Лапласа Ф(z )вычисляется по таблице (приложение 2). При этом учитываем, что

Ф(–z) = – Ф(z); Ф(– ) = –0,5 ; Ф(+ ) = 0,5 .

В данном случае вместо случайной величины Х берем случайную величину У. Далее заполним таблицу по формулам: ;

причем крайнюю левую точку интервала заменяем на –  ; крайнюю правую точку заменяем на + , поскольку теоретическое нормальное распределение определено на всей числовой оси.

Теоретические частоты найдем по формуле:

где функция Лапласа Ф(z)вычисляется по таблице (приложение 2). При этом учитываем, что Ф(–z) = – Ф(z); Ф(– ) = –0,5 ; Ф(+ ) = 0,5 .

Получим таблицу:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Уi	Уi+1	ni	zi	zi+1	Ф(zi)	Ф(zi+1)	ni*	Ni*	Ni	Вi	Vi
3,2	4,68	5	– 	-1,16	-0,5	-0,377	6,15	6,15	5	0,21504	4,06504
4,68	6,16	12	-1,16	-0,50	-0,377	-0,1915	9,28	9,28	12	0,80061	15,5256
6,16	7,64	14	-0,50	0,16	-0,1915	0,0636	12,76	12,76	14	0,12152	15,3665
7,64	9,12	10	0,16	0,81	0,0636	0,291	11,37	11,37	10	0,16507	8,79507
9,12	10,6	4	0,81	1,47	0,291	0,4292	6,91	10,45	9	0,2012	7,7512
10,6	12,08	3	1,47	2,13	0,4292	0,4834	2,71
12,08	13,56	2	2,13	+ 	0,4834	0,5	0,83
Итого		50								1,50344	51,5034

После заполнения 8–го столбца отмечаем, что два последних элемента в этом столбце меньше пяти. Поскольку в критерии Пирсона требуется, чтобы в каждом интервале было не меньше пяти единиц, то объединим частоты трех последних интервалов N_i^* – для 8–го столбца; N_i – для 3–го столбца.

11–ый столбец заполняем по формуле: В_i = .

12–ый столбец – контрольный. Он вычисляется по формуле:

V_i =

Сделаем проверку: 50 + 1,5034 = 51, 5034. Верно.

Заметим, что в результате проверки значения правой и левой частей могут отличатся незначительным образом.

Запишем наблюдаемое значение критерия: ²_набл = 1,5034.

Выберем уровень значимости ошибки =0,05.

Число степеней свободы равно k = m –2 – 1 , где m – число интервалов после объединения. В нашем случае число интервалов после объединения m = 5. Тогда число степеней свободы равно k = 5 – 3 = 2. По таблице критических точек ² (Приложение 5) находим ²_кр(0,05; 2) = 6.

Сравниваем: ²_набл < ²_кр .

Следовательно, нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном законе распределения признака Y . Поэтому принимается гипотеза о нормальном распределении признака У.

Пример 3. В результате опыта получены данные по времени безотказной работы стопора путевого ( в часах).

762	240	290	150	166	206	908	110	256	299
286	110	190	106	110	112	200	250	230	142
119	134	187	215	320	502	1246	340	365	314
390	412	473	114	596	807	220	1045	350	850

При уровне значимости =0,2 при помощи критерия Колмогорова-Смирнова проверить гипотезу о показательном законе распределения генеральной совокупности по времени безотказной работы стопора.

Для признака Х (времени безотказной работы стопора ) определим наибольшее и наименьшее значение признака:

X_min=106 ; X_max=1246 ; объем выборки n = 40.

Число интервалов разбиения определим по формуле Стэрджесса:

k =1 + 3,322 lg 40 = 6,3 .

Найдем шаг разбиения h = (Х_max – X_min) / k.

В данном случае h = (1246 –106) / 6,3 = 180,32. Примем h = 200.

Произведем группировку данных для признака Х.

Результаты группировки представим в таблице, с помощью которой рассчитаем параметры выборки по методу “условного нуля”.

i	интервалы	хi	ni	ui	ni ui	ni ui2	ni (ui + 1)2
1	100-300	200	24	-2	-48	96	24
2	300-500	400	6	-1	-6	6	0
3	500-700	600	4	0	0	0	4
4	700-900	800	3	1	3	3	12
5	900-1100	1000	2	2	4	8	18
7	1100-1300	1200	1	3	3	9	16
			40		-44	122	74

Условный нуль : С=600.

Проверка: 74 = 122 + 2·(–44) + 40 – верно.

Из таблицы находим условные моменты:

М₁ = -44/40 = –1,1; М₂ = 122/40 = 3,05.

Выборочная средняя равна:

=М₁·h +C = 380.

Выборочная дисперсия равна:

D_в = [M₂ - (M₁)²]·h² = 73600