4.3 Сравнение двух вероятностей биномиальных распределений

Пусть в двух генеральных совокупностях (С1 и С2) производятся независимые испытания. В результате каждого испытания событие А может появиться в первой совокупности с неизвестной вероятностью р₁, во второй – с неизвестной вероятностью р₂.

Имеем параметры выборок

по С1: n₁ – количество испытаний; m₁ – частота появления события А в этих испытаниях, ₁ = m₁/ n₁ – относительная частота (выборочная доля) события А в совокупности С1.

по С2: n₂ – количество испытаний; m₂ – частота появления события А в этих испытаниях, ₂ = m₂/ n₂ – относительная частота (выборочная доля) события А в совокупности С2.

Требуется при заданном уровне значимости  установить равенство вероятностей р₁ и р₂ .

Выдвинем основную и альтернативную гипотезы. Рассмотрим три случая:

а) Н₀: р₁ = р₂ б) Н₀: р₁ = р₂ в) Н₀: р₁ = р₂

Н₁: р₁ > р₂ Н₁: р₁ < р₂ Н₁: р₁  р₂

Для проверки гипотез по результатам выборок вычисляем наблюдаемое значение критерия

Критические области и точки зависят от выдвинутых альтернативных гипотез H₁ .

а) Н₁: р₁ > р₂

Критическая область является правосторонней. Критическая точка u_кр находится из равенства Ф(u_кр)= (1–2)/2 , где функция Лапласа Ф(х) задается таблицей (приложение 2);  – заданный уровень значимости.

Если в результате сравнения окажется U_набл < u_кр, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу H₀; если же U_набл > u_кр, то нулевая гипотеза H₀ отвергается; принимается гипотеза H₁.

б) Н₁: р₁ < р₂

Критическая область является левосторонней. Сначала находят вспомогательную точку u_кр' из равенства Ф(u_кр')= (1–2)/2, тогда критическая точка равна u_кр = – u_кр' .

Если в результате сравнения окажется U_набл > u_кр, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу H₀; если же U_набл < u_кр, то нулевая гипотеза H₀ отвергается; принимается гипотеза H₁.

в) Н₁: р₁  р₂

Критическая область является двусторонней. Критическая точка u_кр находится из равенства Ф(u_кр)= (1–)/2 , где функция Лапласа Ф(х) задается таблицей (приложение 2).

Если в результате сравнения окажется U_набл < u_кр, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу H₀; если же U_набл > u_кр, то нулевая гипотеза H₀ отвергается; принимается гипотеза H₁.

4.4 Проверка гипотезы о виде распределения генеральной совокупности по критерию Пирсона

Пусть эмпирическое распределение задано интервальным статистическим рядом

Интервал	х 1 – х 2	х 2 – х 3	…	х i–1 – х i	…	х m –1 – х m
ni	n 1	n 2	…	n i	…	n m

Объем выборки равен n = n ₁+ n ₂+…+ n _m .

Требуется при заданном уровне значимости  проверить, подчиняется ли генеральная совокупность выбранному теоретическому закону распределения f(x).

Выдвинем гипотезы

Н₀: Признак Х подчиняется закону распределения f(x)

Н₁: Признак Х не подчиняется закону распределения f(x)

Для проверки сформулированных гипотез при помощи критерия Пирсона необходимо выполнить ряд расчетов.

а) Определяют по выборке параметры выбранного теоретического распределения f(x). Пусть r - число параметров распределения.

б) Для каждого интервала Х вычисляют вероятности попадания признака Х в данный интервал. Для этого нужно использовать формулу из теории вероятности

.

Здесь f(x) – дифференциальная функция распределения, F(x) – интегральная функция распределения. Для многих видов распределения имеются таблицы значений f(x) и F(x).

в) Определяют теоретические частоты

.

Поскольку в критерии Пирсона требуется, чтобы теоретическая частота в каждом интервале было не меньше пяти, то в противном случае допускается объединение рядом стоящих интервалов с малыми частотами.

г) Вычисляют наблюдаемое значение критерия (его еще называют критерий согласия Пирсона)

.

Этот критерий является случайной величиной, которая подчиняется закону распределения χ² (хи-квадрат). Число степеней свободы равно k = m – r – 1, где m – число интервалов статистического ряда после объединения.

д) По таблице критических точек (приложение 5) находят критическое значение критерия

χ²_кр = χ² ( ; k) .

е) Если в результате сравнения окажется χ²_набл < χ²_кр, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу H₀; если же χ²_набл > χ²_кр, то нулевая гипотеза H₀ отвергается; принимается гипотеза H₁.