- •1.Основные виды матриц. Операции над матрицами.
- •2.Определители. Свойства определителей. Расчет определителей третьего порядка с помощью правила Сарруса, теоремы Лапласа и с помощью свойств.
- •3.Обратная матрица. Необходимые и достаточные условия существования обратной матрицы. Построение обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений и Жордана-Гаусcовских преобразований.
- •4.Системы линейных уравнений. Основные понятия и определения. Решение системы линейных уравнений с помощью метода Крамера и обратной матрицы.
- •5.Решение системы линейных уравнений с помощью метода Гаусса и Жордано-Гаусcовских преобразований.
- •6.Понятие ранга матрицы. Решение системы линейных уравнений методом Кронекера-Капелли.
- •7.Модель межотраслевого баланса Леонтьева.
- •8.Модель равновесных цен.
- •9.Определение n-мерного вектора. Линейные операции над n-мерными векторами и их свойства. Скалярное произведение векторов. Векторное произведение. Смешанное произведение векторов.
- •10.Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Базис системы векторов. Единственность разложения вектора по базису. Алгоритм нахождения базиса.
- •11.Математическая модель. Основные составляющие математической модели. Примеры математических моделей. Переход к канонической форме.
- •13.Основные положения симплекс-метода.
- •14.Приведение задач линейного программирования к каноническому виду. Алгоритм решения задачи симплекс-методом. Правило допустимости и правило оптимальности решения.
- •Алгоритм симплекс метода
- •15.Метод искусственного базиса. Алгоритм решения и основные теоремы.
- •16.Транспортная задача лп (формулировка и математическая модель). Необходимое и достаточное условие разрешимости транспортной задачи.
- •17.Понятие опорного решения транспортной задачи. Метод минимальной стоимости. Виды циклов. Метод вычеркивания. Переход от одного опорного решения к другому.
- •18.Метод потенциалов. Алгоритм решения транспортных задач методом потенциалов.
Алгоритм симплекс метода
-
Шаг 1. Привести ЗЛП к канонической форме. Для этого перенести свобод члены в правые части (если среди этих свобод членов окажутся отриц, то соответств уравн или нерав * на - 1) и в каждое огранич ввести дополперемен (со знаком "+", если в исходном нерав знак "≤", и со знаком "-", если "").
-
Шаг 2. Если в получ системе m уравн, то m перемен принять за основные, выразить основные переменные через неосновные и найти соответств базисное решен. Если найденное базисное решен окажется допустим, перейти к допустим базисному решению.
-
Шаг 3. Выразить функцию цели через неосновные перемен допустим базисного решения. Если отыскивается max (min) линейной формы и в её выражении нет неосновных перемен с отриц (положит) коэфф, то критерий оптимальности выполнен и получбазисное решенявляется оптим - решение окончено. Если при нахождении max (min) линейной формы в её выражении имеется одна или несколько неосновных перемен с отриц (положиn) коэфф, перейти к новому базисному решению.
-
Шаг 4. Из неосновных переменных, входящих в линейную форму с отриц (положит) коэфф, выбирают ту, которой соответствует наибольший (по модулю) коэфф, и переводят её в основные. Переход к шагу 2.
Важные условия
Если допустим базисное решен yравн даёт оптимум линейной формы (критерий оптим выполнен), а в выражении линейной формы через неосновные переменные отсутствует хотя бы одна из них, то полученное оптимальное решение - не единственное.
Если в выражении линейной формы имеется неосновная переменная с отрицательным коэфф в случае её максимизации (с полож - в случае минимизации), а во все уравн системы ограничений этого шага указанная переменная входит также с отрицательными коэфф или отсутствует, то линейная форма не ограничена при данной системе ограничений. В этом случае её max (min) значение записывают в виде Fmax=∞ (Fmin=-∞).
15.Метод искусственного базиса. Алгоритм решения и основные теоремы.
Он примен если ли задача не имеет начального опор решен.
Использует следующие преобразования: 1. Приведение исходной стандарт си-мы к каноническому виду. 2. Отсут базисных переменных в каком-либо из равенств си-мы, приводит к добавл искусственных перемен к данному равенству. И так делается для всех уравнений которых отсут базис перемен. Каждая искуст перемен вводится в левую часть огранич с коэф +1.
Замеч: Добавление в ЦФ всех введенных искуст перемен с большим коэфф М перед каждой искуст перемен. При решен задач на max, перед М став «-»,а на min «+».
Алгоритм решения: 1) т.к. начальное опорн решении содержит искуст перемен входящ в ЦФ с коэф с -М(max)/+М(min), то оценка разложен векторов по базису (∆i), состоит из 2х слагаемых, одно зависит от М, другое - нет. Т.к. М – это ∞ больш величина ,то на 1 этапе использ только слагаемые оценки зависимые от М. 2). Соответ. искусствен переменном вектора, выводимые из базисных опорн решен в дальнейшем исключает из рассмотрения. 3) После того, как все векторы соответ искусств перемен исключают из базиса, расчет продолж обычным Симплекс методов с оценками не завис от М.
Теорема 1 (Признак отсут решения, ввиду несовместимости системы огранич) – Если расширен задач имеет оптим решен у которой хотя бы одна неизвест перемен не 0, то исходная задача не имеет решения, ввиду не совместимости си-мы огранич.
Теорема 2. (Отсут решен, ввиду не огранич ЦФ) – Если расширен задача не имеет решен ввиду неогранич ЦФ, то исход задача так же не имеет решен, по этому же признаку.