4.Системы линейных уравнений. Основные понятия и определения. Решение системы линейных уравнений с помощью метода Крамера и обратной матрицы.

Система М лин.ур. с N-неизвестн. – называется система вида А*Х=В

1.Решением линейн.системы 1 – упорядоченная совокупность N чисел (С₁;С₂...), подстановка которых вместо х₁, х₂, х₃ и др. обращает в тождество каждое уравн. системы 1.

2.Система имеющая хотя бы 1 решение – совместная система, а не имеющ. – несовместимая.

3.Совместимая система – определенная, если имеет единственное решение, и не определ., если имеет множест.реш.

4.Лин систем – неоднородная, если среди свобод членов (а и в) есть члены отличны от 0. Если все члены =0, то система – однородная.

5.2-система уравнен – равносильными/эквивалентыми, если имеет одно и то же множеств. решений.

6.Любые 2-е несовместные системы – эквиваленты.

Решение:

1.Метод Крамера - Пусть ∆(опред.) мат А системы 1, а ∆_ij – мат, получаемых из мат А, заменной j-столбца, столбцом свободных членов, тогда если ∆≠0, то ситстема имеет 1 решение, определяем по формуле Крамера Х_ij=∆_ij/∆.

2.А^-1

Пусть система линейных алгебраических уравнений задана в матричной форме А*Х=В, где матрица А имеет размерность n на n и ее определитель отличен от нуля.

Так как |А|≠0, то матрица А – обратима, то есть, существует обратная матрица А^-1. Если умножить обе части равенства А*Х=В на А^-1 слева, то получим формулу для нахождения матрицы-столбца неизвестных переменных А^-1*А*Х=А^-1*В⇒Х=А^-1*В.

5.Решение системы линейных уравнений с помощью метода Гаусса и Жордано-Гаусcовских преобразований.

Метод Гаусса- Преобразование системы (1) исключая неизв х₁ из всех уравн кроме 1, для этого обе части 1-ого уравн * на число (-а₂₁/а₁₁) и полученное уравн + ко 2 уравн системы, который коэффиц при х₁ обращается в 0. Затем * 1-ое уравн системы обе части на (-а₃₁/а₁₁) и + получен уравн к 3-му уравн ⇒в результате получаем уравн, которое не содержит х₁. Аналогично дальше пока в итоге мы не получим: 1. Имеет свободный член ≠0, а все коэф левой части=0(⇒система не совместима, нет решений); 2.Имеет одно решение если в конце СnnXn=dnn, находим это число и подстав в предыд.; 3. ∞множество, CkkXk+…+CknXn=dk.

Жордано-Гауссовские преобраз. – Систему записываем в табл. Выбирают любой не 0 коэф системы (не свободный член) – разрешающий элемент. Умножаем его н коэф (-а₁₃/а₂₃) и получ строку + с 1-ой, затем * разреш строку на (-а₃₃/а₂₃) и + с 3-ей строкой и т.д. Полседнее действие * разреш строку на (-а_n3/а₂₃) и + с поледней строчкой.

6.Понятие ранга матрицы. Решение системы линейных уравнений методом Кронекера-Капелли.

Ранг матрицы – наибольший из порядков миноров мат отличных от 0(≠0). Обозначается: r(A), rang(A), Rg(A). При вычисление ранга следует переходить от миноров меньшего порядка к минором большего порядка. Св-ва: 1. r(A)≤mxn{m;n}. 2. R=0, тогда когда все элементы мат=0. 3. Для квад мат порядка – n, r мат = n, тогда когда А не вырожденная.

Метод Кронекера-Капелли. Теорема – Для совместности системы (1) необход и достат, чтобы r основной мат А был = r расшир мат Ã. Алгоритм: 1. Находим r(A), находим r(Ã) (если ранги≠, то сист не соместна, нет реш; если =, то выделяем базисный минор и базисный неизвестный.

2. Исходную сист заменяем эвивалент систем состоящ из тех уравн элементы которой вошли в БМ.

3. Для решеня получ систем прибегаем к методом, например Крамер.