4.5. Корисність, ризик і криві байдужості

Розглянемо функцію корисності

, (4.36)

де - величина сподіваної ефективності (доходу, прибутку тощо);

- показник ризику (середньоквадратичне відхилення, семіквадратичне відхилення тощо).

Сукупність усіх комбінацій змінних і , які забезпечують один і той самий рівень загальної корисності, називають кривою байдужості.

Функція може мати таку економічну інтерпретацію. Інвестор зацікавлений у зростанні ефективності, але намагається уникати ризику (тобто, чим більшим є значення ефективності, тим краще, і, чим більшим є значення ризику, тим гірше). Сподівану ефективність можна компенсувати величиною ризику, а тому крива байдужості – це комбінація сподіваних ефективностей і відповідних їм ризиків, які мають одинакову корисність для інвестора.

Відкладаючи на осях абсцис і ординат відповідно значення ризику і сподіваної ефективності та надаючи різні значення отримують сімейство кривих байдужості (рис.4.5). Кожен інвестор має свій індивідуальний графік кривих байдужості, для яких характерними є такі властивості:

▪ окремо взята крива байдужості представляє комбінації портфелів, які забезпечують інвесторові певний рівень задоволення (корисності);

▪ усі портфелі, які лежать на деякій кривій байдужості, є рівноцінними;

▪ криві байдужості не перетинаються, тому кожна крива представляє унікальний рівень корисності;

▪ інвестор має нескінченну кількість кривих байдужості;

▪ портфель, що лежить на кривій байдужості, яка є вище і лівіше, більш пріоритетний для інвестора, аніж портфель, який лежить на кривій байдужості, яка є нижче і правіше.

Серед гіпотетичних портфелів з їх очікуваними ефективностями і ризиками інвестору потрібно обрати найкращий (оптимальний). З цією метою необхідно провести оцінювання форми та положення кривих байдужості.

Якщо є два портфелі з рівними ризиками (наприклад, стандартними відхиленнями), то інвестор вибере той портфель, для кого сподівана ефективність є більшою. Якщо потрібно зробити вибір між портфелями, які мають одинакову сподівану ефективність, то інвестор зробить вибір на користь портфеля з меншим ступенем ризику.

Так як одна й та ж величина корисності (значення функції корисності) може досягатися при різних комбінаціях ефективності і ризику, то можна зробити висновок: для того, щоб збільшити ефективність і залишитися на тій же самій величині корисності, потрібно йти на більший ризик.

Зміни значень ефективності і ризику призводять до зміни рівня корисності. Тому збільшення ефективності при незмінному ризику відповідає переходу на “вищу” криву байдужості з точки у точку (рис.4.5). Аналогічно збільшення ризику при незмінній ефективності відповідає переходу на “правішу” криву з точки до точки (рис.4.5).

Гранична норма заміщення ризику сподіваною ефективністю рівна тангенсу кута нахилу до кривої байдужості (рис.4.5). Так як тангенс кута нахилу є додатнім, то кожна додаткова одиниця ступеня ризику повинна компенсуватися додатнім приростом сподіваної ефективності. Крім того, кожна додаткова одиниця ризику вимагає все більшої компенсації сподіваною ефективністю. Чим більш схильним до ризику є інвестор, тим більший кут нахилу до осі абсцис мають асимптоти кривих байдужості.