2. Визначення частки через добуток
Нехай
і множина А розбита на в попарнго
неперетинаючихся рівнопотужніх множин
,
тоді
-
це число елементів кожної підмножини,
тобто
.
За умовою
,
тоді
в разів
.
Отже вастановлено, що часткою чисел а
і в є таке число с. Яке в
добутку з в дорівнює а. Таким
чисном ми визначили частку чисел через
добуток
Означення 2. Часткою цілого невід’ємного числа а і натурального числа в називається таке ціле невід’ємне число , добуток якого і числа в дорівнює а.
Отже, дія ділення є дією, оберненою до дії множення.
Питання для узагальнення
Яке визначення частки через добуток?
3. Існування частки, її єдиність
Теорема. Для того, щоб існувала
частка двох натуральних чисел а і
в, необхідно, щоб
.
Доведення. Нехай частка натуральних чисел а і в існу, тобто існує таке натуральнее число с, що .
Ми знаємо, що для будь-якого натурального
числа с виконується нерівність
.
Помножимо обидві частини нерівності
на натуральнее число в,
,
оскільки
,
то
Чому дорівнює частка
і натурального числа
?
За означенням (2) це таке число, що
,
так як
,
то рівність
буде виконуватись коли
.
Отже
,
.
Єдиність частки
Теорема. Якщо частка натуральних чисел а і в існує, то вона єдина.
Доведення (від супротивного). Припустимо,
що існують два цілих невід’ємних числа
і
,
які є часткою чисел а і в
і
,
Отже, частка чисел а і в єдина.
Питання для узагальнення
Яка умова існування частки двох натуральних чисел?
4. Теоретичне обгрунтування неможливості ділення на нуль
Поширюючи означення ділення на випадок,
коли ділене нуль,
,
маємо
,
оскільки за другим означенням частки
.
Дія
неможлива, оскільки немає такого числа
,
щоб виконувалась умова
,
коли
(ліва
частина
,
а права –
.
Дія
неможлива, оскільки будь-яке число
задовольняє умову
,
отже
може бути будь-яким числом (у початкових
класах цей випадок не розглядається.
Питання для узагальнення
Чи можна ділити на 0?
5. Правила ділення Правило ділення суми на число
Якщо числа
і
діляться на число
,
то і їх сума ділиться на число с;
частка при діленні суми
на число
дорівнює сумі часток, які одержуємо при
діленні
на
і
на
.
Доведення. Так як
ділиться на
,
то існує таке натуральнее число
,
що
.
Так як
ділиться на
,
то існує таке натуральне число
,
що
.
Тоді
Звідси випливає, що
ділиться
на
і чапстка, одержана при діленні
на
дорівнює
,
тобто
.
Доведення цього правила можна розглянути
з теоретико-множинних позицій. Нехай
і
,
причому
Ø.
Якщо кожну з множин
і
можна розбити на
рівнопотужних піжмножин, то їх об’єднання
теж допускає таке розбиття:
□□□ □□□□ 6 : 2 = 3
○○ ○○ 7 : 2 = 2
□□□○○ □□□○○ 10 : 2 = 5
При цьому, якщо в кожній підмножині
розбиття множини
міститься
елементів
в кожній підмножині розбиття множини
міститься
елементів, то в кожній підмножині
міститься
елементів.
Це означає, що
.
Ця властивість дуже важлива, вона є теоретичною основою алгоритму ділення двоцифрового числа на одноцифрове, а також багатоцифрового на одноцифрове. У початкових классах правило ділення суми на число розкривають на конкретних задачах.
Задача («Математика 3 клас» М.В.Богданович). 18 жовтих слив і 12 синіх слив батько розділив між трьома синами порівну. По скільки слив одержав кожен син?
Задача розв’язується двома способами, отримуючи при цьому різні, але тотожно рівні між собою числові вирази розв’язання.
1 спосіб: (18+12):3=10 (сл.)
2 спосіб: 18:3+12:3=10 (сл.)
Висновок: (18+12):3=18:3+12:3