3. Порядкові і кількісні натуральні числа

Відрізком натурального ряду N_а називається множина натуральних чисел, що не перевищують натурального числа а.

Н., відрізок N₄ є множина натуральних чисел 1, 2, 3, 4.

Із визначення випливає, що відрізок N_а натурального ряду складається із всіх таких натуральних чисел х, що х ≤ а. Крім того, будь-який відрізок N_а при а > 1 містить 1.

Введене визначення відрізка натурального ряду дозволяє уточнити поняття рахунку елементів множини. Відмітимо, під час лічби кожному елементи множини А={k, l, m, r} буде відповідати одне єдине число із відрізка N₄. Тобто встановлена взаємо однозначна відповідність між множиною А і відрізком N₄ натурального ряду.

Лічбою елементів множини А називається встановлення взаємно однозначної відповідності між множиною А та відрізком натурального ряду N.

Число а називається числом елементів у множині А і пишеться n (А)=а. Це число єдине і є кількісним натуральним числом.

Аналіз рахунку показує – для того, щоб рахувати, необхідно раніше мати достатній запас чисел, причому числа повинні володіти рядом властивостей: знаходитися у визначеному порядку, повинно існувати перше число і т.д.

Натуральні числа використовують не тільки для лічби предметів, але й для характеристики порядку предметів: перший (будинок), п’ятий (учень), десятий (місяць).

Отже, при перелічуванні елементів множини використовуються порядкові натуральні числа, які виражаються числівниками «перший», «другий», «третій» і т. д. (тобто відповідають на питання, який при лічбі); для встановлення кількості елементів множини (тобто для відповіді на питання «скільки»), використовуються кількісні натуральні числа, які виражаються числівниками «один», «два», «три» і т.д.

Таким чином, кількісні і порядкові натуральні числа знаходяться в тісному взаємозв’язку. Тісний зв’язок порядкового і кількісного натурального чисел знайшов своє відображення в початковому навчанні математики. Так при вивченні чисел першого десятка відповідь на питання: «Скільки предметів в даній групі?» – дається кількісним натуральним числом, а на питання: «Який при лічбі буде даний предмет?» – відповідь дається порядковим натуральним числом.

Питання для узагальнення

• Що називається відрізком натурально ряду чисел?

• Що є лічбою елементів множини?

• Які бувають натуральні числа?

4. Множина цілих невід’ємних чисел, теоретико-множинний зміст відношень «дорівнює», «менше» на цій множині

З’ясуємо на якій теоретичній основі проходить порівняння чисел.

Нехай дано два цілі невід’ємні числа а і в. З теоретико-множинної точки зору вони представляють число елементів скінчених множин А і В: а = n(А), в = n(В). Якщо ці множини рівнопотужні, то їм відповідає одне і те ж число, тобто а = в.

Числа а і в рівні, якщо вони визначаються рівно потужними множинами:

а=в<=>А~В, де n(А)=а, n(В)=в

Якщо множини А і В не рівнопотужні, то числа, які визначаються ними – різні.

Якщо множина А рівнопотужна своїй підмножині множини В та n(А) = а, n(В) = в, говорять, що число а менше числа в, та пишуть а < в .В цій же ситуації говорять, що в більше а, та пишуть: в > а

а<в<=>А~В₁, де В₁ В та В₁≠В, В₁≠Ø

Із наведених визначеннях відношень «дорівнює» та «менше» виходять в початковій школі, коли пояснюють, що 2 = 2, 3 = 3, 2 < 3, 3 < 4 і т.д.

Наприклад, при введенні запису 3 = 3 розглядають дві рівнопотужні множини квадратів та кругів.

При вивченні відношення 3 < 4 проводяться роздуми: візьмемо три рожевих кружечки та 4 синіх і кожний рожевий покладемо на синій, що синій кружечок залишився незакритим, тобто, рожевих кружечків менше, чим синіх, тому можна записати 3 < 4.

Відмітимо, ще, що якщо числа а і в визначаються відповідно множинами А та В (кругів, квадратів, паличок тощо)та а < в, то виділення в множині В особистої підмножини, рівнопотужна множині А, на практиці виникає самими різноманітними способами: накладанням, приложеням, шляхом утворення пар і т.д. Це можливо, так як відношення а < в.

Цей підхід для визначення відношення «менше» має обмежене застосування, він може бути використаний для порівняння чисел в межах 20, оскільки пов’язаний з безпосереднім порівнянням двох груп предметів.

Число а менше числа в тільки тоді, коли існує таке натуральне число с, що а + с = в

Користуючись цим визначенням можна пояснити, що 3 < 7. 3 < 7 – оскільки існує таке число 4, що 3 + 4 = 7.

Цей спосіб визначення відношення «менше» через додавання також використовується в початкових класах. Про це говорить наявність записів 5 + 1 = 6, 6 > 5, 7 + 1 = 8, 8 > 7.

Число а менше числа в тоді, коли відрізок натурального ряду N_а являється власною підмножиною відрізка цього ряду N_в.

а < в <=> N_а N_в та N_а ≠ N_в

Н., справедливість нерівності 3 < 7 із цих позицій можна пояснити тим, що {1,2,3} {1,2,3,4,5,6,7}.

Дана трактовка поняття «менше» дозволяє порівняти числа, спираючись на знання їх місця в натуральному ряді.

Цей спосіб порівняння чисел також використовується в початкових класах: число, яке при рахунку зустрічається раніше, завжди менше числа, яке іде пізніше.

Отже, множина цілих невід’ємних чисел впорядкована. Наприклад, вона впорядковується відношенням «менше», яке є транзитивним і антисиметричним. Для будь-яких цілих невід’ємних чисел а і b може виконуватись одне з трьох відношень: а < b, а = b, а > b.

Питання для узагальнення

• Які відношення між числами ви знаєте?

• Коли числа рівні між собою?

• Коли число а менше числа в?

3. Заключна частина

Загальний висновок

Поняття натурального числа є одним із основних понять математики. Виникло воно із практичних потреб людства. Складалось поступово у процесі розв’язання спочатку практичних задач, а потім і теоретичних. Головною причиною, яка привела людину до створення натурального числа, була необхідність порівнювати скінченні множини між собою.

Натуральні числа – це числа, які застосовують при лічбі предметів. Натуральні числа є порядкові і кількісні.

Кожне число має класи, розміщені вони справо наліво в такому порядку: клас одиниць, клас тисяч, клас мільйонів, клас мільярдів, клас трильйонів, клас квадриліонів, клас квінтиліонів, клас секстиліонів, клас септиліонів і т.д. Кожний клас має три розряди: одиниці, десятки, сотні.

Запитання для узагальнення студентам

• Який ряд чисел називається натуральним?

• Які числа називаються натуральними?

• Яка різниця між числом і цифрою?

• Як називається сучасна нумерація, якою ми користуємося?

• Яке найменше натуральне число? Найбільше?

• Назвіть класи і розряди натуральних чисел.

Повідомлення домашнього завдання