1. Ряд натуральних чисел і його властивості

Натуральні числа – це цілі додатні числа, які використовують для рахування предметів (Н.: 1,2 3, 4, 5, …, 11, 12, …, 99, 100, 101, …, 999, 1000, 1001, …).

Натуральні числа, які розміщені у порядку зростання, починаючи з 1 і до нескінченності, утворюють числовий (натуральний) ряд (N). Натуральний ряд чисел починається з найменшого натурального числа 1. Найбільшого натурального числа не існує, так як ряд натуральних чисел нескінченний. Число 0 натуральним числом не являється, так як означає повну відсутність чого-небудь.

Для того щоб записувати числа, використовують спеціальні знаки – цифри. Цифри в математиці виконують таку саму роль, як і букви в мові. Усього цифр десять – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. За їх допомогою можна записати будь-яке число.

Цифри, якими ми користуємося, називаються арабськими, але, як це не дивно, писати їх почали в Індії у VI столітті. Назву ж свою вони дістали від арабів, які, взявши ці цифри від індійців, привезли їх до Європи.

Властивості натуральних чисел:

1. Кожному числу відповідає одне і тільки одне натуральне число.

2. Кожному натуральному числу відповідає один клас рівно потужних скінчених множин.

3. Кожному натуральному числу а відповідають різні рівнопотужні множини одного класу еквівалентності.

Отже, натуральні числа – це цілі додатні числа, які використовують для рахування предметів. Найменше натуральне число 1, найбільшого числа не існує. Цифри – спеціальні графічні знаки, які використовують при записі числа.

Питання для узагальнення

• Які числа називаються натуральними?

• Яке найменше натуральне число? Найбільше?

• Яка різниця між числом і цифрою?

• Як називається сучасна нумерація, якою ми користуємося?

2. Класи і розряди натуральних чисел

Система числення, якою ми користуємося, називається десятковою, оскільки для запису різних чисел використовують лише десять цифр (знаків): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Десяткова система числення позиційна, оскільки від позиції цифри в складі числа залежить її значення. Н.: для запису чисел 123, 231, 321, 132 використовують ті самі цифри, але самі числа, що побудовані з цих цифр, розрізняються.

Позицію цифри в запису числа називають розрядом. Найменший із розрядів – розряд одиниць. Ним закінчується будь-яке число.

Числа читають зліва направо.

Запис натурального числа розбивається на групи справа наліво по три цифри в кожній групі. Кожна з цих груп називається класом, а розміщені вони справо наліво в такому порядку: клас одиниць, клас тисяч, клас мільйонів, клас мільярдів, клас трильйонів, клас квадриліонів, клас квінтиліонів, клас секстиліонів, клас септиліонів і т.д. Кожний клас має три розряди: одиниці, десятки, сотні.

Таблиця розрядів і класів чисел

Класи		Розряди
1-й клас	одиниць	1-й розряд	одиниць
		2-й розряд	десятків
		3-й розряд	сотень
2-й клас	тисячі	4-й розряд	одиниць
		5-й розряд	десятків
		6-й розряд	сотень
3-й клас	мільйонів	7-й розряд	одиниць
		8-й розряд	десятків
		9-й розряд	сотень
4-й клас	мільярдів	10-й розряд	одиниць
		11-й розряд	десятків
		12-й розряд	сотень

Число 127 432 706 408 – дванадцяти розрядне і читається так: 127 мільярдів 432 мільйона 706 тисяч 408. Це багатозначне число 4-го класу.

Кожне натуральне число можна записати як суму розрядних доданків.

Приклад

7 205 379 = 7 000 000 + 200 000 + 5000 + 300 + 70 +9.

Отже, десяткова система числення позиційна, оскільки від позиції цифри в складі числа залежить її значення. Позицію цифри в записі числа називають розрядом.

Кожне число має класи, розміщені вони справо наліво в такому порядку: клас одиниць, клас тисяч, клас мільйонів, клас мільярдів, клас трильйонів, клас квадриліонів, клас квінтиліонів, клас секстиліонів, клас септиліонів і т.д. Кожний клас має три розряди: одиниці, десятки, сотні.

Питання для узагальнення

• Як називається система числення, якою ми користуємося?

• Які існують розряди чисел?

• Які класи натуральних чисел ви знаєте?