3. Контрольные вопросы

1. Сформулируйте определения сходящегося числового ряда, суммы

ряда, остатка ряда.

2. Какой ряд называется расходящимся? Приведите примеры сходя-

щихся и расходящихся рядов.

3. Сформулируйте критерий Коши сходимости числового ряда. В чем

состоит необходимый признак сходимости?

4. Какой ряд называется знакоположительным? Сформулируйте основной признак сходимости.

5.Сформулируйте достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов: признак разреженности, признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши и интегральный признак. Укажите условия сходимости и расходимости обобщенного гармонического ряда.

6. Верно ли, что: а) если ряд сходится, то его частичные суммы ограничены; б) если частичные суммы ограничены, то ряд сходится.

7. Существует ли ряд, который а) по признаку Даламбера сходится, а по признаку Коши расходится; б) по признаку Коши сходится, а признаку сравнения расходится.

8. Привести пример двух рядов и , для которых ряд сходится, а ряд расходится.

9. Какой ряд называется знакочередующимся? Сформулируйте признак Лейбница. В чем состоит практическое значение следствия к признаку Лейбница.

10. Верно ли, что: а) если ряд сходится абсолютно, то он сходится и условно; б) если ряд сходится условно, то он не сходится абсолютно.

11. Какой ряд называется знакопеременным? Сформулируйте достаточный признак сходимости знакопеременного ряда. В чем состоит отличие абсолютной и условной сходимости знакопеременного ряда?

12. Сформулируйте признаки Абеля и Дирихле для знакопеременных рядов.

13.Что называется функциональным рядом? Дайте определения сходящегося и равномерно сходящегося функциональных рядов. В чем состоит отличие?

14. Сформулируйте критерий Коши и признак Вейерштрасса для функциональных рядов. Приведите примеры применения.

15. Сформулируйте теорему о пределе суммы функционального ряда и теорему об её непрерывности. Приведите пример ряда с непрерывными функциями, у которого сумма является разрывной функцией.

16. Сформулируйте теоремы о дифференцировании и интегрировании функционального ряда. Приведите примеры применения.

17. Какой функциональный ряд называется степенным? Сформулируйте теорему Коши-Адамара. Какое множество является областью сходимости степенного ряда? Как его находят?

18. Сформулируйте теорему Абеля и теорему о почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда. Приведите пример применения последней теоремы.

19. Какой степенной ряд называется рядом Тейлора? Как определяются коэффициенты этого ряда?

20. В чем состоит необходимое и достаточное условие сходимости к своему ряду Тейлора? Только достаточное? Приведите пример функции, к которой не сходится её ряд Тейлора.

21. Запишите разложения следующих функций в ряд Маклорена: .

22. Что называется основной тригонометрической системой и тригонометрической системой общего вида? Что означает ортогональность этих систем?

23. Запишите тригонометрический ряд Фурье и коэффициенты Фурье по основной тригонометрической системе и по тригонометрической системе общего вида.

24. Сформулируйте свойства коэффициентов Фурье, а также лемму Римана.

25. Запишите тригонометрический ряд Фурье и коэффициенты Фурье: а) для четных функций; б) для нечетных функций

26. Сформулируйте теорему Вейерштрасса. Какими свойствами должна обладать функция, чтобы абсолютно и равномерно сходился ее ряд Фурье?

27. Запишите тригонометрический ряд Фурье в комплексной форме и коэффициенты Фурье. Приведите пример.

29. Какой вид имеет интеграл Фурье? При каких условиях интеграл Фурье сходится? Запишите интегральное преобразование Фурье.