Задачи и упражнения
1.1. Докажите непосредственно сходимость следующих рядов и найти их суммы:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
.
1.2. Знакопостоянные ряды. Числовой
ряд
у которого все члены неотрицательные,
т.е. если
,
называется знакоположительным.
Если
,
то ряд называется знакоотрицательным.
Знакоотрицательные и знакоположительные
ряды называются знакопостоянными.
Для исследования сходимости знакопостоянных
рядов достаточно изучать сходимость
знакоположительных рядов.
Теорема (признак разреженности).
Пусть члены знакоположительного ряда
монотонно убывают, т.е.
.
Тогда ряд
сходится тогда и только тогда, когда
сходится ряд
.
Пример 7. Рассмотрим вопрос
о сходимости ряда
,который
называется обобщенным гармоническим
рядом.
Решение. Если
,
то расходимость следует из необходимого
признака. Если
,
то по теореме 2 этот ряд одновременно
сходится с рядом
,
который сходится, если
,
т.е. при условии, что
.
Теорема (признак сравнения). Пусть
даны два знакоположительных ряда
, 
,
причем
для
.
Тогда:
а) если ряд сходится, то сходится и ряд ;
б) если ряд расходится, то расходится и ряд .
Пример 8. Выясните сходимость
ряда
.
Решение. Так как общий член
рассматриваемого ряда имеет вид
,
рассмотрим в качестве вспомогательного
ряда следующий ряд
,
где
.
Нетрудно заметить, что выполняется
условие
для любого
.
Ряд
– сходится как геометрическая прогрессия
с показателем
.
Следовательно, исходный ряд сходится.
Пример 9. Исследовать сходимость
ряда
.
Решение. Ясно, что
.
Но ряд
расходится, так как
.
Следовательно,
расходится.
Теорема (предельный признак
сравнения). Пусть даны два знакоположительных
ряда
и
.
Тогда, если существует конечный и
отличный от нуля предел
,
то эти ряды одновременно сходятся или
расходятся.
Пример 10. Исследовать на
сходимость ряд
.
Решение. Рассмотрим ряд
и найдем предел
при
.
Так как обобщающий гармонический ряд
при
расходится, то по предельному признаку
сравнения заданный ряд расходится.
Теорема (признак Даламбера). Если
существует предел
,
то знакоположительный ряд
сходится при
и расходится при
.
Пример 11. Выясните, сходится
ли ряд
.
Решение. Найдем предел отношения
и
.
.
Следовательно, ряд сходится, согласно признака Даламбера.
Теорема (признак Коши). Если существует конечный предел
,
то в случае знакоположительный ряд сходится, а при расходится.
Пример 12. Выясните сходимость
ряда
.
Решение. Найдем придел
– ряд сходится.
Теорема (интегральный признак).
Пусть функция
определна, непрерывна, положительна и
не возрастает при
Тогда числовой ряд
сходится или расходится одновременно
с несобственным интегралом
Пример
13. Исследовать на сходимость ряд
.
Решение. Так как общий член ряда
имеет вид
то
рассмотрим функцию
Несобственный интеграл
расходится, следовательно, ряд тоже расходится.
Задачи и упражнения
1.2. Исследуйте сходимость рядов,
пользуясь признаком сравнения или
признаком сравнения в предельной форме:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
;
13)
;
14)
;
15)
;
16)
;
17)
;
18)
; 19)
;
20)
.
1.3. Исследуйте сходимость следующих
рядов с помощью признака Даламбера:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
.
1.4. Исследуйте сходимость следующих
рядов с помощью признака Коши:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
; 5)
; 6)
;
7)
; 8)
; 9)
;
10)
; 11)
; 12)
1.5. Используя признак разреженности
или интегральный признак, исследуйте
сходимость следующих рядов:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
1.6. Исследуйте на сходимость ряды:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
;
8)
;
9)
; 10)
;
11)
; 12)
;
13)
; 14)
15)
; 16)
;
17)
; 18)
;
19)
; 20)
;
21)
; 22)
.