1.3. Знакопеременные ряды. Числовой ряд называется знакопеременным, если его члены могут иметь как положительные, так и отрицательные знаки.

Определение. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из абсолютных величин его членов. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Пример 14. Проверьте сходимость ряда .

Решение. Рассмотрим сходящийся ряд . Понятно, что для любого выполняется условие . Следовательно, ряд сходится абсолютно по признаку сравнения, поэтому он и просто сходится согласно признаку сравнения.

Среди знакопеременных рядов большое значение имеют знакочередующиеся ряды, т.е. ряды вида

,

где для любого . Такой ряд иногда называют рядом Лейбница.

Теорема (признак Лейбница). Пусть выполняется условие для любого и , тогда знакочередующийся ряд сходится.

Следствие. Абсолютная погрешность при замене суммы знакочередующегося ряда его частичной суммой не превосходит первого отброшенного члена ряда.

Теорема (признак Дирихле). Пусть дан ряд , такой, что последовательность монотонно стремится к нулю, а последовательность частичных сумм ряда ограничена, тогда и ряд сходится.

Пример 15. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Пусть , Тогда

.

Таким образом, .

Если , то все слагаемые равны нулю и суммы равны нулю. Таким образом, частичные суммы ограничены. Последовательность монотонно убывает и стремится к нулю при , следовательно, по признаку Дирихле ряд сходится.

Теорема (признак Абеля) Если последовательность монотонна и ограничена, а ряд сходится, то сходится и ряд .

Пример 16. Выясните сходимость ряда .

Решение. Так как ряд сходится по признаку Дирихле (последовательность частичных сумм ряда ограничена, а последовательность монотонно) и последовательность монотонна и ограничена, то ряд сходится.

Задачи и упражнения

1.7. Докажите сходимость следующих рядов и найти их суммы:

1) ; 2) .

1.8. Зная, что , найдите суммы рядов, полученных из данного в результате перестановки его членов:

1) ; 2) .

1.9. Исследуйте сходимость знакопеременных рядов: 1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) .

1.10. Исследуйте на абсолютную и условную сходимость знакочередующиеся ряды: 1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) .

1.11. Сколько членов ряда следует взять, чтобы получить его сумму с точностью до , если: 1) ; 2) ; 3) 4 .

2. Функциональные ряды

2.1. Область сходимости. Множество значений аргумента x, при которых функциональный ряд

сходится, называется областью сходимостью этого ряда. Функция

где частичная сумма, а x принадлежит области сходимости, называется суммой ряда. Функция называется остатком ряда.

Существует два типа сходимости функционального ряда: поточечная и равномерная. Функциональный ряд называется сходящимся на множестве к функции , если он сходится в каждой точке множества X , т.е. такое, что выполняется .

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве к функции , если такое, что и выполняется .

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости: пусть для и выполняются неравенства , причем числовой ряд сходится. Тогда функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно на множестве .

Пример 1. Исследовать сходимость ряда на отрезке .

Решение. Первое слагаемое в сумме принимает наибольшее значение в точке , второе в точке . Следовательно, для всех имеем, что , и в силу признака Вейерштрасса получаем, что данный ряд сходится равномерно на .

Для данного функционального ряда построить мажорирующий ряд и доказать равномерную сходимость на указанном отрезке.

2.1. 2.2.

2.3. 2.4.

2.5. 2.6.

2.7. 2.8.

Частным случаем функционального ряда является степенной ряд, который имеет вид:

Областью сходимости степенного ряда является интервал с центром в точке и радиусом R, т.е. множество определяемое неравенством: Вне этого интервала степенной ряд расходится, а на концах, т.е. в точках ряд может сходиться, а может и расходиться. Радиус сходимости R может быть, в частных случаях равен также 0 и Интервал сходимости определяют обычно с помощью признаков Даламбера или Коши.

Во многих случаях для нахождения области сходимости функционального ряда достаточно применить к этому ряду известные признаки сходимости, считая x фиксированным числом.

Пример 2.  Найти область сходимости ряда .

Решение. К рядам такого вида можно применить условие сходимости Даламбера: . В нашем случае:

; .

; .

После сокращения одинаковых сомножителей получим:

.

Вынесем за знак предела постоянные множители (учитывая, что не зависит от ):

.

Так как

,

то окончательно получим:

, или .

Раскрывая «модульное» неравенство, имеем: , откуда

.

Ясно, что вторая часть теоремы Даламбера (об условиях расходимости ряда) привела бы нас при решении неравенства

к множеству точек .

Очевидно, что точки и являются решениями уравнения

, а в этом случае признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда. Поэтому в указанных случаях требуется проведение дополнительного исследования сходимости функционального ряда, для чего подставим оба числа в исходный ряд:

а) . Подставив в исходный ряд, получим:

.

Исследуем полученный знакочередующийся ряд с помощью признака Лейбница:

ряд сходится, значит точка

является точкой сходимости функционального ряда .

б) . Подставив в ряд, будем иметь:

.

Так как , то этот обобщенный гармонический ряд расходится, т.е. точка не является точкой сходимости исходного функционального ряда.

Итак, объединяя интервал сходимости и точку , получим окончательно область сходимости исходного ряда: .

Найти область сходимости рядов:

2.9.   . 2.10.    .

2.11.   . 2.12.  .

2.13.   . 2.14.   .

2.15.    . 2.16. .

2.17.   . 2.18.    .

2.19.   . 2.20.    .

2.21.   . 2.22   .

2.23.   . 2.24.  .

Найти область сходимости функционального ряда:

2.25. . 2.26. . 2.27.

2.28. . 2.29. . 2.30. .

2.31. . 2.32. 2.33.

Теоремы о дифференцировании и интегрировании степенных рядов в некоторых случаях позволяют находить сумму ряда.

Пример 3.  Найти сумму ряда

Решение. = Обозначим Тогда

Окончательно получаем

Найти сумму ряда.

2.34. . 2.35.

2.36. 2.36.

2.37. 2.38.

2.39. 2.40.

2.41. 2.42.

2.2. Ряд Тейлора. Если функция допускает в некоторой окрестности разложение в степенной ряд по степеням то этот ряд называется рядом Тейлора и имеет вид:

При ряд Тейлора называют также рядом Маклорена.

Для оценки остаточного члена ряда можно пользоваться формулой (форма Лагранжа):

Разложения некоторых основных элементарных функций в степенной ряд имеют вид:

Пользуясь этими разложениями, можно во многих случаях получать разложение заданной функции в степенной ряд, причем отпадает необходимость исследования остаточного члена ряда. Иногда при разложении необходимо использовать почленное дифференцирование или интегрирование. При разложении в степенные ряды рациональных функций рекомендуется разлагать их на простейшие дроби.

Разложение функций в степенные ряды применяется при решении различных задач: нахождении пределов, приближенном вычислении значений функций, приближенном вычислению интегралов и т.п.

Пример 4. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки _.

Решение. Ряд Тейлора имеет вид:

.

Найдем подряд несколько производных от данной функции в точке :

;

; ;

; ;

; ;

; .

Подметив закономерность построения очередной производной, приходим к выводу:

.

Тогда разложение данной функции в ряд Тейлора примет вид:

.

Пример 5.  Пользуясь разложением функции в ряд Маклорена, разложить функцию в окрестности точки .

Решение. Разложение функции в ряд Маклорена имеет вид:

.

Тогда:

.

Умножив обе части этого равенства на , получим:

.

Пример 6.  Пользуясь разложением функции в ряд Маклорена, найти седьмую производной от функции при .

Решение. Разложим функцию в ряд Маклорена, используя стандартное разложение:

,

Тогда

.

Так как в общем случае ряд Маклорена имеет вид:

,

то, сравнивая коэффициенты при , будем иметь:

, отсюда .

Пример 7.  Вычислить приближенное значение , взяв три члена разложения в ряд Маклорена функции , и оценить погрешность.

Решение. Используем разложение функции в ряд Маклорена:

,

тогда точное значение будет:

.

Оставив в этом разложении три члена, получим:

.

Для оценки погрешности используем остаточный член в форме Лагранжа:

, где .

В нашем случае:

, где .

Так как , то , поэтому справедлива оценка . Тогда

.

Поэтому делаем вывод, что погрешность будет следующей:

,

а значит, в ответе оставляем две цифры после запятой, т.е. .

Пример 8.  Вычислить с точностью до : .

Решение. Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена. Чтобы разложить функцию , найдем сначала её производную:

.

Используем биноминальный ряд:

.

В нашем случае будем иметь:

Интегрируем обе части полученного равенства:

;

.

Делим обе части полученного равенства на ,и получаем

Теперь интегрируем это равенство на отрезке :

В результате, имеем сходящийся знакочередующийся ряд, сумма которого (следствие к признаку Лейбница) не превосходит величины первого отброшенного члена. Поэтому, если оставить в полученном разложении 3 слагаемых, то величина отброшенного остатка (который тоже является сходящимся знакочередующимся рядом) не будет превышать величины своего первого члена, т.е. величины первого отброшенного слагаемого: , а эта погрешность наверняка меньше, чем .

Итак:

.

Разложить следующие функции в ряд Тейлора и исследовать остаточные члены:

2.43.   в окрестности точки .

2.44.   в окрестности точки .

2.45.   в окрестности точки .

2.46. в окрестности точки

Разложить данные функции в окрестности точки , пользуясь формулами разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций.

2.47.   . 2.48.    .

2.49.   . 2.50.   

2.51.   . 2.52.    .

2.53.   . 2.54.    .

2.55.   . 2.56. .

2.57.   . 2.58. y=

2.59. Пользуясь формулами разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций, разложить по степеням функции:

2.60.  Пользуясь разложением функции в ряд Маклорена, найти значение:

а) пятой производной от функции при ;

б) десятой производной от функции при .

Пользуясь разложением функции в ряд Маклорена, вычислить пределы:

2.61.   . 2.62.    .

2.63. 2.64. .

Выразить в форме ряда интегралы, используя разложение в ряд подынтегральных функций и указать области сходимости полученных рядов.

2.65. . 2.66. .

2.67. . 2.68. .

2.69. . 2.70. .

Вычислить приближенно с заданной точностью.

2.71. с точностью до .

2.72. с точностью до .

2.73. с точностью до .

2.74. с точностью до .

2.75. с точностью до .

2.76. с точностью до .

2.77. с точностью до .

2.78. с точностью до .

2.79. с точностью до .

2.80. с точностью до .

2.81. с точностью до .

2.82. с точностью до .

2.83. с точностью до .

2.84. с точностью до .

2.85. с точностью до .

2.86.  Вычислить площадь, ограниченную линией , осью ординат и прямой , с точностью до .

2.87.  Вычислить длину одной полуволны синусоиды с точностью до .

2.88. Вычислить длину параболы с точностью до .

2.3. Тригонометрические ряды Фурье. Тригонометрическим рядом Фурье периодической функции с периодом 2 называется функциональный ряд

где числа называются коэффициентами Фурье и определяются по формулам:

Теорема Дирихле. Пусть функция удовлетворяет условиям:

1. равномерно ограничена в интервале , т.е. где М – постоянная;

2. имеет не более чем конечное число точек разрыва 1-го рода;

3. имеет не более чем конечное число точек строгого экстремума.

Тогда формально составленный ряд Фурье этой функции сходится является периодической функцией с периодом , причем в точках непрерывности а в точках разрыва

.

Если функция задана на отрезке , где - произвольное число, то при выполнении условий Дирихле на этом отрезке, указанная функция может быть представлена в виде суммы ряда Фурье

где

В случае, когда - четная функция в интервале , то её ряд Фурье имеет вид:

Если - нечетная функция в интервале , то её ряд Фурье имеет вид:

Пример 9.  Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом :

Решение. Построим график функции (рис.2.1):

Очевидно, что условия Дирихле выполняются. Определим коэффициенты Фурье:

;

Составим ряд Фурье:

,

Сумма ряда

Пример 10.  Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом функцию :

Решение. Построим график функции (рис.2.2):

Ясно, что - нечетная функция, поэтому ; ;

Итак, ряд Фурье будет иметь вид:

Пример 11.  Разложить в ряд Фурье периодическую функцию , если .

Решение. Построим график функции (рис.2.3):

Так как, - нечетная функция, то ; ; ; ;

Получим ряд Фурье:

Пример 12.  Разложить функцию на отрезке в ряд по косинусам.

Решение. Продолжим эту функцию четным образом на отрезок (рис.2.4). Получим , , .

Так как ‑ четная, то .

; ;

Получим ряд Фурье:

;

.

Разложить следующие функции в ряд Фурье.

2.89.   ,

2.90.   , , .

2.91.   , , .

2.92.   , , .

2.93.  Периодическая с функция

2.94.  Периодическая с функция

2.95.   , , .

2.96.   .

2.97.   .

2.98. Разложите заданную функцию на указанном интервале в тригонометрический ряд: а) только по косинусам, б) только по синусам

2.99. Разложите заданную функцию на указанном интервале в тригонометрический ряд: а) только по косинусам, б) только по синусам

2.100. Постройте график функции , разложите заданную функцию на указанном промежутке в тригонометрический ряд Фурье

2.101. Постройте график функции , разложите заданную функцию на указанном промежутке в тригонометрический ряд Фурье

2.102.   на отрезке . Разложить в ряд в ряд по синусам.

2.103.  на отрезке . Разложить в ряд по синусам.

2.104.   на отрезке . Разложить в ряд по косинусам .

2.105. Разложите функцию , заданную на интервале графически, в тригонометрический ряд Фурье: а) только по косинусам, б) только по синусам

2.106. Разложите функцию , заданную на интервале графически, в тригонометрический ряд Фурье: а) только по косинусам, б) только по синусам