3.3.1. Характеристики варіації

Термін «варіація» (від лат. variation) означає зміну, коли­вання, відмінності значень ознаки у чисельних одиниць сукупно­сті. Варіація притаманна усім без винятку масовим явищам при­роди і суспільства. Вона є необхідною умовою їхнього існування і розвитку, проте межі варіації, у яких це явище оптимально розвивається, різні. Скажімо, в регіоні з року в рік різниться се­редньорічна кількість опадів і середня урожайність картоплі. Явища природи більш сталі, а отже, межі коливань кількості опа­дів щодо певного постійного рівня відносно невеликі, тоді як межі коливань урожайності картоплі важко передбачити.

Щоб ефективно управляти складними соціально-економічними явищами і процесами, звести до мінімуму неви­значеність і непередбачуваність, необхідно узагальнити усю різ­номанітність значень показників, які характеризують ці явища, і виміряти ступінь їхньої варіації. Вимірювання варіації широко застосовують при оцінюванні фінансових ризиків інвестування, диференціації домашніх господарств за рівнем доходу, витрат і споживання, ритмічності роботи підприємств, контролю якості

72

продукції, сталості урожайності сільськогосподарських культур тощо. В одних сукупностях індивідуальні значення показника тісно групуються навколо центра розподілу, в інших — значно відхиляються. Чим менші відхилення, тим однорідніша сукуп­ність, а отже, надійніші типові її характеристики.

Вимірювання варіації - невід'ємна складова наукових до­сліджень у будь-якій галузі знань. Основним інструментом вимі­рювання варіації є стандартне відхилення. Воно показує, як у середньому індивідуальні значення відхиляються від центра роз­поділу:

а =

Отже, якщо середня характеризує типовий рівень ознаки, то стандартне відхилення відображає типове відхилення від серед­ньої. Підкореневий вираз стандартного відхилення називається дисперсією. Для малих вибірок дисперсія розраховується за фо­рмулою

и-1

Наприклад, визначимо дисперсію витрат на рекламу (х) за даними 15 туристичних агенцій (табл. 3.3.1); середні витрати на рекламу становлять 7,04 млн. USD.

Таблиця 3.3.1. До розрахунку дисперсії витрат на рекламу

Компанія	Витрати, млн. USD, Xj	Xj-x (* = 7Д>4)	(Xj-x)
1	6,65	-0,39	0,1521
2	6,76	-0,28	0,0784
3	6,84	-0,2	0,04
15	7,35	0,31	0,0961
Разом	X	X	0,5618

Згідно з розрахунками дисперсія витрат на рекламу стано­ вить а¹ =— = 0,040129, а стандартне відхилення <т = _Л/0,040129-

0,200321млн. USD.

Ідентична за змістом, але менш поширена міра варіації, яка усереднює модулі відхилень, називається середнім лінійним від­хиленням

Середнє квадратичне а та середнє лінійне / відхилення -це іменовані числа (в одиницях вимірювання ознаки), за змістом вони ідентичні, проте завдяки математичним властивостям

<7> 1 .

У середовищі Excel для вимірювання варіації Мастер функций пропонує:

• дисперсію -Дисп,

• стандартне відхилення - Стандотклон,

• середнє лінійне відхилення — Сроткл.

Ш ирші можливості аналізу варіації надає один з інструмен­тів пакета Анализ данньїх - Описательная статистика (рис.3.3.1), діалогове вікно якого викликається командою Сер-вис -* Анализ данньїх ~* Описательная статистика.

Описательная статистика містить розглянуті вище харак­теристики центра розподілу (середню, моду, медіану) та основні характеристики варіації (дисперсію, стандартне відхилення). По­вний перелік характеристик розподілу наведено на рис. 3.3.2 на прикладі витрат на рекламу.

З-поміж наведених характеристик поки що нерозглянутими залишаються ті, що характеризують відхилення від нормального, симетричного розподілу - Асимметрия та Зксцесс. Асиметрія характеризує «скіс» розподілу, ексцес - його «крутизну». Якщо у симетричному розподілі рівновіддалені від центра значення ознаки мають однакові частоти, то в асиметричному - значна частина сукупності концентрується з одного боку, а з іншого -утворюється «хвіст». Коли «хвіст» розподілу виступає праворуч, маємо правосторонню асиметрію, і навпаки.

Зазначимо, що асиметрія виникає внаслідок обмеженої варі­ації в одному напрямі або під впливом домінуючої причини роз­витку, яка призводить до скошеності розподілу. Ексцес (крутиз­на) розподілу функціонально пов'язаний з варіацією: чим мен­шою є варіація, тим гострішу вершину має розподіл, і навпаки.

75

Методологія наукових досліджень

Розділ 3. Аналіз даних: методи, результати

Коефіцієнти асиметрії A_s та ексцесу Е_к розраховуються за фор-

_к

мулами :

—З'

А=

де а - стандартне відхилення.

За даними рис. 3.3.2 розподіл туристичних агенцій за витра­тами на рекламу має лівосторонню асиметрію (A_s = -0,374) і екс­цес нижчий за нормальний {Е_к = - 0,567).

При порівнянні варіації різних ознак або однієї ознаки в різ­них сукупностях використовуються коефіцієнти варіації V. Вони визначаються відношенням стандартного (J чи лінійного / від­хилень до центра розподілу, найчастіше виражаються в процен­тах. Іноді для оцінки ступеня варіації використовують співвід­ношення варіаційного розмаху R і середньої, так званий коефі­цієнт осциляції. Отже, маємо:

Коефіцієнт варіації		Коефіцієнт осциляції
Квадратичний	Лінійний
FCT==100 X	F7==100 X	г.-і X

Якщо центр розподілу поданий медіаною, то відносною мі-

v Q> Qi

рою варіації слугує квартальний коефіцієнт Vq = ^-—^-.

2Ме

¹ В пакеті Анализ данньїх коефіцієнти асиметрії і ексцесу визначаються для вибіркової сукупності, а тому реалізовані формули з урахуванням обсягу вибі-

рки п:

Xj -X

п ■v~'| ^xj ^s~ (n-\)(n-2)L\

„ . n(n +1)

(и-2)(и-3)

У розглянутому прикладі квадратичний коефіцієнт варіації становить V_a = 100 (0,200321 : 7,04) = 2,85%, що дає підстави вва­жати сукупність туристичних агенцій за витратами на рекламу однорідною. Коефіцієнт осциляції Ря = (7,35 - 6,65): 7,04 = 0,0994.

За згрупованими даними наведені характеристики варіації і форми розподілу розраховуються за принципом зваженої серед­ньої, тобто:

Стандартне відхилення

а² =-

т

_V^і

Визначимо зважені характеристики варіації за даними роз­поділу селянських (фермерських) господарств за площею ріллі (табл. 3.2.1). Порядок розрахунку цих характеристик подано в табл. 3.3.2.

Таблиця 3.3.2. До розрахунку узагальнюючих характеристик

варіації

xj	fj	(? = 13,5)		Xj-X	fj	(Xj-x)	ix) ~x) fj
3	17	-10,5	178,5			110,25	1874,25
9	32	-4,5	144			20,25	648
15	24	-1,5	36			2,25	54
21	16	7,5	120			56,25	900
27	8	13,5	108			182,25	1458
33	3	19,5	58,5			380,25	1140,75
Разом	100	X	645			X	6075

Лінійне відхилення

Дисперсія

/=■

т

76

77

Згідно з розрахунками характеристики варіації становлять:

Дисперсія	а1		т L(Xj-xy	fj	6045 -60 45
			т		100
Стандартне відхилення,га	а		60,45 = 7,	11
Лінійне відхилення, га	1 =	т V 1	Xj-Xfj	_645 * 100	=6,45
Квадратичний коефіцієнт варіації			о- 7,77	- 0,575
			х 13,5
Лінійний коефіцієнт варіації	у.	7 X	6,45 = 13,5 =	0,48.

Для визначення форми розподілу селянських господарств за площею ріллі застосуємо прості міри асиметрії та ексцесу. У си­метричному розподілі характеристики центра - середня, мода, ме­діана - мають однакові значення, в асиметричному між ними іс­нують певні розбіжності. При правосторонній асиметрії х > Me > Mo, при лівосторонній, навпаки, .7 < Me < Mo. Чим більша асиметрія, тим більше відхилення (х- Мо). Очевидно, найпрості­шою мірою асиметрії є відносне відхилення А = ——-, яке ха-

ст

рактеризує напрям і міру скошеності в середині розподілу; при правосторонній асиметрії А > 0, при лівосторонній - А < 0.

Теоретично коефіцієнт асиметрії не має меж, проте на прак­ тиці його значення не буває надто великим і в помірно скошених розподілах не перевищує одиницю. Так, за даними ряду розподі­ лу (табл. 3.2.1) площа ріллі у розрахунку на одне селянське гос­ подарство становить 13,5 га, мода дорівнює 9,9, а= 7,77. Міра скошеності ^ = ¹³>^-9,9 і

= о 46 свідчить про значну правосторон-

7,77 ню асиметрію розподілу.

78

Ексцес розподілу можна виміряти відношенням половини квартильного розмаху до 80%-го децильного розмаху. При нор­мальному розподілі це відношення становить 0,263. Щодо роз­поділу селянських (фермерських) господарств за площею ріллі, то коефіцієнт ексцесу становить

*

J -& ,1*73-7,»

2(A,-D,) 2(24,7-3,5) тобто ексцес близький до нормального.

Характеристики варіації і форми розподілу розглядаються як певні індикатори однорідності множини даних, яка є переду­мовою використання інших статистичних методів (статистично­го оцінювання, регресійного аналізу тощо). Однорідними вва­жаються такі множини, елементи яких мають спільні властивості (риси) і належать до одного типу, класу. При цьому однорідність означає не повну тотожність рис і властивостей елементів, а ли­ше наявність у них загального в істотному, головному.

Критерієм однорідності вважається квадратичний коефіці­єнт варіації, який завдяки властивостям середнього квадратично­го відхилення у симетричному розподілі становить к_ст = 0,33. Згі­дно з цим критерієм селянські (фермерські) господарства за площею ріллі, що мають у своєму користуванні, неоднорідні {V_a =7,77:13,5 = 0,575).

Стандартне відхилення а та квадратичний коефіцієнт варі­ації V використовуються також для оцінювання ризиків під­приємницької діяльності. Ризики є невід'ємною складовою будь-якої економічної діяльності, уникнути їх неможливо, а тому важ­ливо адекватно оцінити структуру і міру (ступінь) ризиків та раціонально ними управляти.

У фінансовій сфері взагалі, і в банківській зокрема, ризиком обтяжене будь-яке рішення. Як приклад, оцінимо кредитний ри­зик комерційного банку за даними трьох кредитних угод з різ­ним ризиком Рі. При визначенні середньозваженого кредитного ризику L і стандартного відхилення вагами слугують суми кре­дитних угод 5,(табл. 3.3.3):

79

Таблиця 3.3.3. До розрахунку кредитного ризику

Кредитна угода	Сума кредитної угоди, млн. грн. St	Кредитний ри­зик угоди, Рі	SiPi	(A-L)2 Si
1 2 3	ЗО 50 20	0,2 0,3 од	6 15 2	0,027 0,245 0,338
Разом	100	X	23	0,61

За наведеними даними середньозважений кредитний ризик і стандартне відхилення становлять:

= 0,078.

Стандартне відхилення певною мірою відображає диверси-фікованість кредитного портфелю стосовно ризику. Чим більше його значення, тим більш диверсифікованим є кредитний порт­фель банку. З метою порівняння ризиків різних портфелів засто­совують коефіцієнти варіації. У розглянутому прикладі віднос­ний рівень ризиковості кредитного портфелю становить

щ о слід визнати досить високим.

3.3.2. Оцінювання рівномірності (нерівномірності) розподілу

У соціально-економічних дослідженнях не менш важливою є характеристика нерівномірності розподілу певного явища між окремими складовими сукупності, оцінка його концентрації (ло­калізації) в окремих частинах сукупності. Наприклад, розподіл майна чи доходів за групами населення, кількості зайнятих за видами діяльності, фінансових ресурсів за регіонами тощо. Оці­нка концентрації ґрунтується на порівнянні часток двох розпо­ділів - за кількістю елементів сукупності dj і обсягом значень

ознаки Dj. Якщо розподіл значень ознаки в сукупності рівно­мірний, то частки однакові - d_і = Z)_y, відхилення часток свід­чать про певну нерівномірність розподілу.

Саме такий висновок можна зробити за даними табл. 3.3.4 щодо інвестиційного процесу. На регіон А припадає 38% суб'єктів господарювання, а частка інвестицій в основний капі­тал становить 54%. Натомість у регіоні В частка суб'єктів госпо­дарювання 35%, а частка інвестицій - лише 21%.

Таблиця 3.3.4. Розподіл суб'єктів господарювання та інвестицій в основний капітал за регіонами

Регіон	У % до підсумку		Коефіцієнт локалізації --ь	Модуль відхи-
	кількість суб'єктів господарювання j	інвестиції в основний капітал £>;		часток 100і ' !
А В С	и 35 27	54 21 25	1,42 0,60 0,92	0,16 0,14 0,02
Разом	100	100	*	0,32

Відношення часток двох розподілів по кожній складовій су­купності називається коефіцієнтом локалізації Lj. Очевидно, що при рівномірному розподілі Lj=\. За даними табл. 3.3.4 коефі­цієнт локалізації перевищує одиницю по регіону А, що свідчить про концентрацію інвестицій саме у цьому регіоні.

Узагальнюючою мірою нерівномірності розподілу є коефі­цієнт концентрації Лоренца, який обчислюється як півсума мо­дулів відхилень часток:

Коефіцієнт децильної диференціації показує кратність спів­відношення дев'ятого D9 та першого Di децилів

^VD = — ■

Коефіцієнт концентрації доходів Джині K_G характеризує ступінь рівномірності (нерівномірності) розподілу усієї суми до­ходів (витрат) між окремими групами населення. При рівномір­ному розподілі значення K_G дорівнює нулю. Чим вища поляриза­ція доходів (витрат), тим ближче цей коефіцієнт до одиниці.

При рівномірному розподілі К = 0. Чим більший ступінь концентрації, тим більше значення коефіцієнта К відрізняється від нуля. У нашому прикладі К = 0, 32 : 2 = 0,16, що свідчить про по­мітну концентрацію інвестицій за регіонами.

При вивченні рівня життя населення оцінюється ступінь економічного розшарування населення щодо рівня доходів, ви­трат або споживання. Для характеристики нерівності населення за добробутом найчастіше використовують:

• коефіцієнт фондів;

• коефіцієнт децильної (квинтильної) диференціації;

■ коефіцієнт концентрації доходів Джині. Розрахунок зазначених коефіцієнтів ґрунтується на розподі­ лі населення за рівнем середньодушового доходу або витрат. При цьому для зручності розрахунків виокремлюються однакові за чисельністю населення групи: 10 груп - по 10% або 5 груп - по 20% населення у кожній групі. Тобто у першому випадку здійснюється децильний поділ сукупності, у другому - квинти- льний.

Коефіцієнт фондів - це співвідношення сумарних доходів 10% найбагатшої і 10% найбіднішої частин населення

де Xj частка населення в у-й груш;

у і - частка доходів (витрат), сконцентрованих у у-ій групі;

сит у і - кумулятивна частка доходів (витрат);

т - число груп.

У табл. 3.3.5 наведено розподіл загального обсягу грошових витрат населення регіону за 20-процентними групами. Переду­сім, слід звернути увагу на нерівність в розподілі грошових ви­трат: на першу групу припадає лише 6,5% загального обсягу грошових витрат, на другу - 10,6%, на третю - 16,5%, натомість на п'яту групу - 43,9%. Кумулятивні частки грошових витрат (сит у/) засвідчують, що у перших трьох групах, які представля­ють 60% чисельності населення, частка грошових витрат стано­вить 33,6%. Про значну диференціацію населення за грошовими витратами свідчить коефіцієнт диференціації Джині

К_а = 1 - 2 • 0,4266 + 0,2 = 0,347.

В цілому по Україні в останні роки коефіцієнт Джині за су­купними витратами населення становить 0,34, коефіцієнт деци­льної диференціації - 5,2, тобто сукупні витрати 10% найбільш забезпечених громадян у 5,2 рази перевищують витрати 10% найменш забезпечених. За коефіцієнтом децильної диференціації

Україна на пострадянському просторі поступається лише Росії (8,06) і Молдові (6,14).

Таблиця 3.3.5. До розрахунку коефіцієнта диференціації Джині

Номер групи населення за розміром се-редньодушо-вих грошових витрат	Частка населен­ня в групі Xj	Частка гру­пи у за­гальному обсязі грошових витрат У]	Розрахункові дані
			сит У]	хіУі	Xj cum у і
1 2 3 4 5	0,2 0,2 0,2 0,2 0,2	0,065 0,106 0,165 0,225 0,439	0,065 0,171 0,336 0,561 1,0	0,0130 0,0212 0,0330 0,0450 0,0878	0,0130 0,0342 0,0672 0,1122 0,2000
Разом	1,0	1,000	X	0,2	0,4266

Високий рівень диференціації населення за добробутом поєднується з відсутністю значного прошарку середнього класу, який є гарантом соціальної стабільності. За даними вибіркового соціально-демографічного обстеження, яке проводилося органа­ми державної статистики України за підтримки Міжнародної ор­ганізації праці та Програми Розвитку ООН, у 2003 р. ідентифіку­вали себе як середній клас лише 12% респондентів. Тому форму­вання середнього класу розглядається як один із стратегічних пріоритетів соціальної переорієнтації економічної політики, що знайшло відображення в Концептуальних засадах стратегії соці­ально-економічного розвитку України на 2002-2011 pp. «Євро­пейський вибір».