5.2. Тенденції розвитку

В аналізі динамічних рядів тенденцію представляють у ви­гляді плавної траєкторії і описують певною функцією, яку нази­вають трендом Y, -fft), де t - змінна часу (t =1,2,...,и). Певна річ, час не є чинником конкретного процесу, змінна часу / про­сто акумулює комплекс постійно діючих умов та причин, які ви­значають цей процес. На основі такої функції здійснюється вирі­внювання динамічного ряду і прогнозування подальшого розви­тку процесу.

Процедура вирівнювання динамічних рядів включає два етапи: обгрунтування (вибір) типу функції, яка б адекватно опи­сувала характер динаміки, та оцінювання параметрів функції. На практиці використовують переважно такі функції, параметри яких мають конкретну інтерпретацію залежно від характеру ди­наміки. Найбільш поширені поліноми (лінійна функція, парабо­ли) та різного роду експоненти. При виборі типу функції суттє­вою підмогою має бути аналіз ланцюгових характеристик ін­тенсивності динаміки.

Так, лінійний тренд Y, = а + bt описує процеси, які рівномі­рно змінюються в часі і мають стабільні абсолютні прирости. Якщо ж відносно стабільними є ланцюгові темпи приросту, то такий процес адекватно опише експонента Y, = ab'. У зазначе­них функціях: t - порядковий номер періоду (дати), а - значен­ня показника при / = 0. Параметр b характеризує швидкість ди­наміки: середню абсолютну в лінійній функції і середню відно-

сну - в експоненті¹. Коли характеристики швидкості динаміки зростають (чи зменшуються), для описування тенденції викори­стовують інші функції. Скажімо, парабола 2-го порядку Y, = а + bt +ct² здатна описати процес, характерною особливістю якого є рівноприскорене зростання або зменшення рівнів ряду.

Оцінювання параметрів трендових рівнянь здійснюється методом найменших квадратів (МНК), основною умовою якого є мінімізація суми квадратів відхилень фактичних значень у_х від теоретичних Y,, визначених за трендовим рівнянням

Z 0^)²=™п.

Д ля оцінки адекватності трендового рівняння реально процесу використовують:

s =

стандартну похибку

п-т

де п - кількість рівнів ряду; т - кількість параметрів функції тренду;

■ коефіцієнт детермінації R², розрахунок якого можна по­дати так:

2 >,-J)² ■

Порядок обчислення параметрів тренду та його екстраполяції розглянемо на прикладі процесу телефонізації квартир. В табл. 5.2.1 наведено динамічний ряд забезпеченості міського населення домашніми телефонами. Ланцюгові абсолютні прирости рівнів

ряду А, практично стабільні, тому тенденцію можна описати лі­нійною функцією Y, = а + bt.

Таблиця 5.2.1. До розрахунку тренда забезпеченості місько­го населення України домашніми телефонами

-2, -1, 0, 1, 2; при парному (п = 6): -2,5, -1,5, -0,5, 0,5, 1,5, 2,5. В обох випадках j^t = 0, а система рівнянь набирає вигляду

па =

Рік	Оди­ниць на 100 сімей, У,	А,	Змінна часу t	УЛ	у, =50,3 + l,9t	Залишки
						yt-Y,	(У,-У,)2
1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002	44 47 49 50 52 53 57	3 2 1 2 1 4	-3 -2 -1 0 1 2 3	-132 -94 -49 0 52 106 171	44,6 46,5 48,4 50,3 52,2 54,1 56,0	-0,6 0,5 0,6 -0,3 -0,2 -1,1 1,0	0,36 0,25 0,36 0,09 0,04 1,21 1,00
Разом	352	X	0	54	352	0	3,31

Джерело: Послання Президента України до Верховної Ради України. Про внут­рішнє і зовнішнє становище України у 2002 році. - Київ, 2003, с.436.

Згідно з умовою мінімізації суми квадратів відхилень фак­тичних рівнів ряду у, від теоретичних Y, параметри визнача­ються розв'язуванням системи нормальних рівнянь. Для лінійної функції вона записується так:

па

Довжина динамічного ряду забезпеченості міського насе­лення домашніми телефонами п = 7, Е/²= 28. Звідси параметри трендового рівняння становлять:

a = Zy,: л = 352: 7=50,3;

6 = 2>,f:If² = 54:28=l,9.

Лінійний тренд має вигляд Y_t = 50,3 + 1,9/, тобто щорічний

приріст забезпеченості міського населення домашніми телефо­нами - 1,9 одиниці на 100 квартир. У шостій графі табл. 5.2.1 для кожного /-го року наведено визначені за трендом теоретичні рів­ні Y_t забезпеченості телефонами, які зумовлені дією основних

чинників розвитку галузі: для 1996 р. У, = 50,3 + 1,9 • (-3) £45 одиниць, для 2002 р. 7₇= 50,3 + 1,9 • (3) = 56 одиниць.

= 0,81, що відносно

Стандартна похибка дорівнює s =

середнього рівня становить лише 1,6%. Для розрахунку коефіці­єнта детермінації R² необхідно визначити загальну суму квадра­тів відхилень. Заданими табл. 5.2.1 У\.у, -50,3)² =107,43. Тоді

3,31

= 0,969,

R' =1 —

107,43

Система рівнянь спрощується, якщо початок відліку часу (/ = 0) перенести в середину динамічного ряду. Тоді значення t, розмі­щені з одиничним інтервалом вище середини ряду, будуть від'ємними, а нижче середини - додатними. При непарному чи­слі членів ряду (наприклад, п = 5) змінній t надаються значення:

154

тобто на 96,9% процес телефонізації квартир пояснюється дією основних чинників розвитку галузі. Щодо відношення стандарт­ної похибки до середнього рівня, то значення його (1,6%) свід­чить про сталість процесу телефонізації квартир в містах і місь­ких поселеннях України..

Параметри трендового рівняння і оцінки його адекватності реальному процесу можна визначити в Excel за процедурами

регресійного аналізу (Регрессия є одним з інструментів програм­ної надбудови Анализ данньїх). Результати регресійного аналі­зу тенденції забезпеченості міського населення домашніми теле­фонами наведено нарис. 5.2.1.

Значення коефіцієнта детермінації R² = 0,969, стандартної похибки 5 = 0,81. Трендове рівняння має вигляд F, = 42,5 + l,9t, де / = 1,2, 3,..., 7. Оскільки відлік часу не перенесено в середину ряду, то параметр а = 42,5 характеризує не середній рівень ряду, а рівень при t = 0, тобто рівень 1995 року. Вибір того чи іншого способу ідентифікації змінної часу t в регресійному аналізі довільний і не впливає на значення параметра Ь. В обох трендо-вих моделях середньорічна абсолютна швидкість забезпеченості міського населення домашніми телефонами становить 1,9 оди­ниць на 100 сімей.

5.3. Точність і надійність прогнозів

Виявлену тенденцію можна продовжити за межі динамічно­го ряду. Процедуру продовження тенденції в майбутнє назива­ють екстраполяцією тренду. Це один із методів статистичного прогнозування, передумовою використання якого є сталість при­чинного комплексу, що формує тенденцію. Часовий горизонт прогнозу називають періодом упередження. За тривалістю цього періоду вирізняють прогнози: короткострокові (до 1 року), се-редньострокові (до 5 років) та довгострокові (від 5 до 20 років і більше). Тривалість періоду упередження залежить від специфі­ки об'єкта прогнозування, інтенсивності динаміки, тривалості дії виявлених закономірностей та тенденцій. Формально опера­цію екстраполяції можна представити як визначення функції

де Y,_+v -прогнозне значення на період упередження v;

Y, - база екстраполяції, найчастіше це останній, визначений за трендом рівень ряду.

Прогнозний, очікуваний рівень Y,+_v залежить від бази про­гнозування та періоду упередження v. Так, припускаючи, що умови, за яких здійснювалася телефонізація населення, найбли­жчим часом не зміняться, визначимо прогноз на 2004 рік. Базою прогнозування є теоретичний рівень 2002 p., період упередження v = 2. Очікуваний у 2004 р. рівень забезпеченості міського на­селення телефонами досягне 60 одиниць на 100 сімей (точне зна­чення 59,8):

У,₊₁. = 56,0+1,9-2 = 60.

Метод екстраполяції дає точковий прогноз показника. Оче­видно, що «влучення в точку» малоймовірне, адже тренду влас­тива невизначеність, передусім, через похибки параметрів. Дже­релом цих похибок є обмежена сукупність спостережень >>,, кожне з яких містить випадкову компоненту є,. Випадкова ком­понента буде присутня і за межами динамічного ряду, а отже, її необхідно врахувати. На практиці, як правило, визначають дові­рчі межі прогнозного рівня з певною ймовірністю (1-а). Ширина

157

довірчого інтервалу залежить від варіації рівнів динамічного ря­ду навколо тренду та імовірності висновку

де fi._a - коефіцієнт довіри за розподілом Стьюдента;

s_p - стандартна похибка прогнозу, значення якої залежить від стандартного відхилення s_e, довжини динамічного ряду (пе­редісторії) п та періоду упередження v. Чим довший період пе­редісторії, тим похибка менша, а збільшення періоду упере­дження, навпаки, веде до зростання похибки прогнозу.

Якщо співвідношення передісторії та періоду упередження позначити Z, то похибка прогнозу Sp = t\._aZs_e. В табл. 5.3.2 на­ведено значення /i_o,ioZ для п = 7 ... 18 та v= 1 ... 3.

Таблиця 5.3.2. Значення fi-o,ioZ для оцінки довірчих меж прогно­зу (ймовірність висновку 0,90)

п	Період упередження v
	Лінійний тренд			Параболічний тренд
	1	2	3	1	2	3
7	2,638	2,875	3,140	3,948	5,755	8,152
8	2,463	2,639	2,836	4,822	4,754	6,461
9	2,342	2,478	2,631	3,144	4,124	5,408
10	2,252	2,361	2,483	3,459	3,695	4,698
11	2,183	2,272	2,371	2,763	3,384	4,189
12	2,127	2,202	2,284	2,926	3,148	3,808
13	2,084	2,146	2,216	2,536	2,965	3,516
14	2,046	2,100	2,159	2,636	2,820	3,286
15	2,015	2,062	2,113	2,386	2,701	3,100
16	1,988	2,029	2,074	2,455	2,604	2,950
17	1,965	2,001	2,041	2,280	2,521	2,823
18	1,945	1,977	2,012	2,330	2,451	2,717

/і.о,ю Z = 2,875. За цих умов похибка прогнозу дорівнює _Sp =0,81-2,875 = 2,33, що відносно прогнозного рівня Y_l+V =

59,8 становить 3,9%.

Отже, в 2004 р. слід очікувати рівень телефонізації квартир щонайменше 59,8 - 2,3 = 57,5 або 575 на 1000 сімей. Нагадаємо, що принципова можливість екстраполяції ґрунтується на припу­щенні, що умови, які визначали тенденцію у минулому, не за­знають істотних змін у майбутньому. Якщо умови зміняться, то автоматично зміниться і результат прогнозування.

Однією з умов моделювання динаміки є якісна однорідність ряду. Вона виявляється неперервністю ряду, сталістю тенденції розвитку. Якщо у причинному комплексі, що формує процес, відбулися зміни (зміна форми власності, фінансова криза, не­сприятливі погодні умови тощо), то для оцінки їх впливу в ре-гресійну модель, що описує динамічний процес, лінійно вво­диться dummy - змінна м,, яка поділяє ряд динаміки на різні за умовами розвитку процесу інтервали.

В інтервалі до точки розриву однорідності ряду и,= 0, у на­ступному інтервалі (після точки розриву) м,= 1,2,.. .т , де т - до­вжина інтервалу. Значення змінної часу і, навпаки, у першому інтервалі зростають від 1 до t_p, у другому фіксуються на рівні (_р. Якщо, скажімо, в ряду динаміки довжиною 6 років точка роз­риву t_p=2>, файл первинних даних регресійної моделі можна сфо­рмувати так:

Уі	У і	У1	Уз	У4	У5	Уб
t	1	2	3	4	4	4
и,	0	0	0	1	2	3

Рівняння регресії набуває вигляду Y,= c + bt + а, и„ де па­раметр при змінній t характеризує швидкість динаміки до точки розриву, а параметр при и, - відхилення від усталеної тенденції за рахунок змін в умовах розвитку.

Особливості трендової моделі з dummy-змінними розгляне­мо на прикладі поквартальної динаміки надання кредитів в іно­земній валюті комерційними банками України за 1997-1999 pp. Цей ряд динаміки через фінансову кризу в третьому кварталі

159

1998 (Q3) виявився неоднорідним (розірваним), а тому в рівнян­ня тренду додатково введемо dummy-змінну и, (табл.5.3.3).

Таблиця 5.3.3. Кредити в іноземній валюті та чисті зовнішні активи комерційних банків України

Квартали року	Млн. грн на кінець періоду		Щ
1997 Q3	2040	1	0
1997 Q4	2125	2	0
1998 Q1	2414	3	0
1998 Q2	2777	4	0
1998 Q3	4866	5	1
1998 Q4	5122	5	2
1999 Q1	6132	5	3
1999 Q2	6873	5	4

Джерело: Тенденції Української економіки, грудень 2001. - С.54

Процес кредитування в іноземній валюті за цей період опи­сується функцією:

¥,= 1371,8 +421,1/ + 874,2 м,. (4,1) (4,0) (8,2)

Як бачимо, а, = 2Ь, тобто інтенсивність динаміки кредиту­вання в іноземній валюті після фінансової кризи 1998 р. зросла в 2 рази. Про адекватність моделі реальному процесу свідчить ко­ефіцієнт детермінації R² = 0,981 та наведені під функцією зна­чення /-тесту Стьюдента.

Визначений за цією функцією прогноз обсягу кредитування в іноземній валюті на четвертий квартал 1999 р. становив Y_!999 Q₄= 1371,8 + 421,1 -5 + 874,2 • (4+2) = 8722,5 млн. грн., а факти­чний обсяг - 8731 млн. грн. Похибка апроксимації не перевищи­ла 0,1%

-4 = 100

= 0,097%,

У,

8731

що свідчить про високі прогностичні властивості моделі.