2 Основы теории фрактальной размерности

2.1 Понятие о фракталах

В 1890 г. итальянский математик и логик Джузеппе Пеано построил кривую (кривую Пеано), областью определения которой является отрезок (dim = 1), а областью значений – квадрат (dim = 2). Было показано, каким образом одна точка, двигаясь непрерывно по квадрату, может (за бесконечное время) пройти, по крайней мере, один раз через каждую точку квадрата и его границы. Кривая Пеано, ее потом окрестили «монстром», является непрерывной кривой, но нигде (ни в одной точке) не дифференцируема.

В 1904 г. шведский математик Хельга фон Кох, используя итерированные отображения, получил фигуру, названную позднее «снежинкой Коха», особенностью которой является бесконечная протяженность границы при ограниченных размерах самой снежинки. Были получены и другие монстры.

В 1919 г. немецкий тополог Феликс Хаусдорф решил проблему размерности извивающихся кривых, приписав им дробную размерность.

Систематическое изучение объектов такой необычной группы было начато французским математиком Бенуа Мандельбротом. Термин “фрактал” (английское “fractal”) был введен Б. Мандельбротом в 1975 году. Он был получен от двух латинских глаголов: frangere – ломать и fractus – дробный.

Известны следующие определения фрактала.

Определение 1. Фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича (ниже будет показано вычисление этой размерности), которого строго больше его топологической размерности .

Кривая Пеано, имея топологическую размерность = 1 (одномерная кривая), имеет фрактальную размерность 1 < < 2.

Определение 2. Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому (именно самоподобные объекты стали основным инструментом Б. Мандельброта для исследования фракталов).

Определение 2 является строгим и наиболее точно отражает суть фракталов, а именно их дробную размерность. Однако, при всей правильности и точности, оно слишком ограничено, так как исключает многие фракталы в различных технических и физических задачах.

Определение 2 содержит еще один отличительный признак: фрактал выглядит одинаково, в каком бы масштабе его не наблюдать. Ниже мы подробно познакомимся с самоподобными объектами.

Определение 3. Фракталами называются масштабно-инвариантные множества, обладающие дробной размерностью Хаусдорфа-Безиковича. Это определение объединяет отличительные признаки фракталов, данные определениями 1 и 2.

2.2 Фрактальная размерность. Размерность Хаусдорфа-Безиковича

Фракталы сложно рассматривать как множество точек, вложенных в пространство. Когда речь идет об обычных геометрических объектах: линия, поверхность, шар, то их топологические размерности известны и являются целыми числами.

Рассмотрим, как вводится мера некоторого множества точек G, вложенного в пространство при определении размерности Хаусдорфа-Безиковича ( ).

Простой способ измерить длину кривых, площадь поверхности или объем тела состоит в том, чтобы разделить их на небольшие элементы – отрезки длиной , квадраты со стороной или на небольшие кубы с ребрами (рис. 3.1). Такой способ, например, применен попугаем в известном м/ф, когда он установил, что длина удава составляет 38 попугаев. С математической точки зрения мы применим некоторую элементарную меру (мерило, величина чего-то), как пробную функцию , где – размерность меры.

Пусть для некоторой кривой (рис. 2.1) длиной L_o, получено N(r) прямолинейных отрезков длиной , аппроксимирующих данную кривую. Тогда, если , получим:

. (2.1)

Рисунок 2.1 – Измерение «величины» различных множеств точек с помощью отрезков, квадратов и кубов с ребрами .

В пределе при мера L становится равной длине кривой и не зависит от .

Множеству точек кривой можно поставить в соответствие и площадь. Если N(r) – число квадратов, – площадь каждого из них, то площадь кривой определяется как:

. (2.2)

Аналогично, объем V кривой может быть найден как:

. (2.3)

Разумеется, что для обычных кривых площадь и объем V обращаются в нули при и тогда единственной (представляющей интерес) мерой является длина кривой L.

Теперь перейдем к поверхности (рис. 2.1), для которой в качестве меры множества точек возьмем площадь:

. (2.4)

Можно ли для поверхности в качестве меры взять объем? Формально это выглядит следующим образом:

. (2.5)

При этот объем для обычной поверхности также равен нулю.

Поставим другой вопрос: можно ли поверхности поставить в соответствие какую-нибудь длину?

Формально мы можем принять за такую длину величину:

, (2.6)

которая расходится при .

Этот результат объясняет, что поверхность невозможно покрыть конечным числом прямолинейных отрезков.

Вывод: единственной мерой множества точек, образующих поверхность в трехмерном пространстве является площадь.

Однако существуют «монстры», подобные кривой Пеано, «снежинке Коха» и другие, для которых требуется обобщить меру величины множества точек.

До сих пор, определяя меру величины множества точек G в пространстве, мы выбирали некоторую элементарную меру (пробную функцию) . Введем для пробной функции некоторый геометрический коэффициент y(d), зависящий от пробной функции:

, (2.7)

Для прямолинейных отрезков, квадратов, кубов геометрический коэффициент принимается равным , однако для других геометрических объектов он будет иным. Так, например, для круга , для сферы .

После выбора пробной функции множество G покрывается N(r) пробными функциями (элементарными мерами) и определяется мера этого множества:

. (2.8)

Анализируя это выражение, можно сделать вывод, что при мера равна бесконечности (при =0 получаем и или нулю (при некоторой величине малая величина приближается к нулю). Отсюда следует вывод, что моменту перехода из нуля в бесконечность соответствует некоторое конечное значение .

Размерность Хаусдорфа-Безиковича множества точек G есть критическая размерность, при которой мера изменяет свое значение с нуля на бесконечность:

. (2.9)

Приняв y(d) = 1, то есть, покрыв множество точек прямолинейными объектами (отрезок, квадрат, куб) и приравняв некоторой конечной величине, например 1, получим:

, (2.10)

откуда размерность Хаусдорфа-Безиковича определим по формуле:

. (2.11)

Если является дробной, то размерность Хаусдорфа-Безиковича будем обозначать и называть фрактальной размерностью Хаусдорфа-Безиковича.

Теперь перейдем к построению и изучению самоподобных фракталов.