1.1 Проблемы моделирования нелинейной динамики

Проблемы выделения параметров порядка

При построении модели обычно применяется ограниченное число переменных, иначе возникают проблемы с объемом экспериментальных исследований и интерпретацией результатов моделирования. Важно, чтобы переменные, входящие в модель, были наиболее важными для формирования поведения объекта. Однако такой подход превращает исследование в искусство, а не в науку.

Появление проблемы измерения.

При моделировании некоторых объектов иногда невозможно найти объективную количественную характеристику для важного параметра исследуемого объекта, например, учесть «человеческий фактор».

Качественное описание системы.

Зачастую несущественными оказываются многие количественные характеристики исследуемых систем, а важно оценить качественные изменения и скачки, способствующие авариям или катастрофам.

Недостаток информации.

По некоторым объектам, особенно уникальным, например, электросталеплавильная печь, не удается собрать статистическую информацию.

Выбор масштабов.

Проблема связана с тем, что масштабы параметров и их размерности устанавливаются априорно, например, выбор частотного диапазона, точности измерения и т.п. При неправильно выбранном масштабе можно не обнаружить важные явления, например, всплески. В такой ситуации исследователь видит, то что можно, а не то, что нужно.

Мы привыкли пользоваться геометрией Евклида, которая оперирует длиной, шириной и высотой, то есть характеризуется тремя измерениями. Однако такая геометрия не позволяет постичь сущность неправильных форм, повсюду встречающихся в природе. Евклидова математика не позволяет описать дерево, облако, горы и многое другое.

Из чисто практических соображений мы, глядя на карту дорог, понимаем, что на самом деле дорога трехмерна, но ее высота нас мало интересует.

Однако, если подходить к вопросу размерности серьезнее, то можно задать такой вопрос: А сколько измерений имеет клубок веревки? И окажется, что ответ зависит от уровня восприятия.

С огромного расстояния клубок представляется не более чем точкой с нулевой размерностью. Приближаясь, можно заметить, что он подобен сфере и, таким образом, характеризуется уже тремя измерениями. На еще более близком расстоянии становится различимой сама бечевка и объект приобретает одно измерение, скрученное таким образом, что задействуется трехмерное пространство. Вопрос о числе цифр, определяющих положение точки, остается актуальным: пока мы вдалеке, нам не нужно ни одной, поскольку мы видим лишь точку; приблизившись, мы нуждаемся уже в трех, а подойдя еще ближе, довольствуемся одной, так как любое заданное положение вдоль всей длины бечевки неповторимо, независимо от того, вытянута ли она или смотана в клубок.

Продвигаясь далее, к более мелким, видимым только под микроскопом деталям, обнаружим следующее: бечевка состоит из скрученных трехмерных протяженных объектов, а те, в свою очередь, — из одномерных волокон, вещество которых распадается на частицы с нулевыми измерениями.

Итак, численный результат измерений зависит от отношения объекта к наблюдателю. Именно это иллюстрируют математические традиции.

Парадоксальные результаты анализа размерности (топологии) были получены также (в 70-е годы ХХ века) при попытке измерить длину береговой линии Великобритании. Оказалось, что с уменьшением единицы измерения длина береговой линии возрастает и при использовании предельно малой величины размерности становится бесконечной.

Французский и американский математик Бенуа Мандельброт занялся анализом размерностей, не полагаясь на довольно смутные понятия «издалека» и «ближе», которые использовались при реальных измерениях объектов. Он поставил вопрос: А что наблюдается в промежутке?

Бесспорно, провести строгую черту, по пересечении которой клубок бечевки превращается из трехмерного объекта в одномерный, невозможно. Тем не менее, Мандельброт по-новому взглянул на проблему размерности.

Он двигался от целочисленных размерностей 0,1,2,3... к тому, что казалось невозможным, — к дробным измерениям.

Дробное измерение позволяет вычислять характеристики, которые не могут быть четко определены иным путем: степени неровности, прерывистости или неустойчивости какого-либо объекта. Например, извилистая береговая линия, несмотря на неизмеримость ее «длины», обладает присущей только ей шероховатостью. Мандельброт указал пути расчета дробных размерностей, которые получили название «фрактальных». Объекты с фрактальной размерностью стали называть фракталами