3.3 Парадигма хаоса – логистическое уравнение

Второй парадигмой хаоса является так называемое логистическое уравнение, или уравнение роста популяций:

(3.4)

где – рост или рождение популяции за -й период, – ограничения роста, связанные с ограниченностью энергетических и пищевых ресурсов, – число популяций к началу ( )-го периода.

Перепишем (3.4) в безразмерном виде, вводя замену переменных . Тогда:

(3.5)

Запишем (3.5) в исходных обозначениях:

. (3.6)

Это и есть логистическое уравнение, где является параметром. При этом, для того, чтобы относительное значение численности популяций, например, насекомых находилось между 0 и 1, следует ограничить .

Для того, чтобы оценить влияние параметра на численность популяций, рассмотрим рост численности за два цикла.

Имеем:

(3.7)

(3.8)

Если принадлежит некоторому множеству , то данная функция отображает множество М в себя, то есть:

. (3.9)

В связи с этим введем некоторые определения. Отображения (3.7) и (3.8) можно рассматривать как итеративный процесс воздействия функции на начальную точку х₀. Ясно, что для произвольного п имеем:

. (3.10)

Поскольку каждая точка функции как-то перемещается по множеству М, то функция (3.7) задает дискретную динамику системы.

Если для некоторой точки определены все итерации , то множество { – множество натуральных чисел} называется орбитой точки х₀ под действием функции f. Здесь мы имеем еще одну наглядную интерпретацию действия группы на многообразии.

Теперь вернемся к логистическому уравнению (3.6) и рассмотрим как изменяется его динамика при гладком изменении параметра в диапазоне . Найдем неподвижные точки отображения.

Запишем уравнение (3.6) для неподвижной точки:

. (3.11)

Приведем это квадратное уравнение к общему виду:

.

Корни уравнения равны:

. (3.12)

Видно, что первая точка в начале координат при – неустойчивая точка, а вторая точка покоя устойчива.

Оценим тип неподвижных точек. Для этого вычислим величину наклона в точках покоя (используем индекс для того, чтобы подчеркнуть зависимость от параметра ):

; (3.13)

. (3.14)

Приравняв их +1 и –1, получаем, что неподвижные точки теряют гиперболичность (производная начинает отличаться от единицы) при и при . Потеря гиперболичности приводит к качественному изменению динамики, то есть при и имеют место бифуркации (раздвоения, перестройки).

Построим диаграмму Ламерея (отображение хода последовательных приближений) для , как показано на рисунке 3.4. На этом отображении обе неподвижные точки находятся в координате , причем точка – ни притягивающая, ни отталкивающая, а является бифуркационным седлом. При этом в итерационном процессе наблюдается уменьшение численности популяций.

Рисунок 3.4 – Итерационная диаграмма Ламерея для отображения при

При неподвижная точка является отталкивающей, а точка становится притягивающей. На рисунке 3.5 показана диаграмма Ламерея для ,7.

Из диаграммы рис. 3.5 видно, что при небольшом начальном значении в итерационном процессе наблюдается значительный рост численности популяций, отображенный на бифуркационной диаграмме (рис. 3.6).

Еще одной особенностью является то, что на этом интервале сначала , а затем являются периодическими точками периода 1 (T=1).

При и наступает вторая бифуркация – бифуркация удвоения периода. Здесь притягивающая неподвижная точка (период Т=1) превращается в отталкивающую, а рядом с ней появляется цикл вдвое большего периода (T=2). При все точки интервала (0,1) притягиваются к этому циклу.

Рисунок 3.5 – Диаграмма Ламерея логистического уравнения для

Рисунок 3.6 – Бифуркационная диаграмма логистического уравнения для 1 < < 3

При достижении значения происходит третья бифуркация – бифуркация удвоения периода 2 (T=4). При этом вторая производная . Дальнейшее увеличение приводит к потере устойчивости цикла (см. рис. 3.7). Этот процесс удвоения периода происходит до тех пор, пока не достигнет значения =3,56994.

Рисунок 3.7 – Потеря устойчивости роста популяций при

Вблизи =3,56994 последовательные значения параметров, при которых происходит удвоение периода, подчиняются закону:

. (3.15)

Число называется числом Файгенбаума.

При возникают хаотические колебания (рис. 3.8).

Для уравнение (3.6) может быть решено путем замены переменных, что позволит увидеть чрезвычайную зависимость решения от начальных условий. Итак, сделаем следующую замену:

. (3.16)

При такой замене уравнение (3.8) преобразуется следующим образом:

. (3.17)

Одним из решений уравнения (2.28) является:

, (3.18)

Рисунок 3.8 – Возникновение хаоса при =4,0

Отсюда следует, что для итераций при начальном значении :

. (3.19)

Можно непосредственно убедиться в том, что это решение соответствует хаосу в системе. Действительно, поскольку связано с функцией , добавление целого числа к (или замена знака) приводит к тому же самому значению . Поэтому, если записать в обычной десятичной системе, например, положив =11,2693..., то можно просто отбросить 11. Еще лучше использовать двоичную систему для , положив, например:

.

При этом умножение на два (переход от ) означает просто сдвиг запятой вправо на 1 знак:

Таким образом, значения , порождаемые любыми начальными , зависят от го и следующего разрядов . Это позволяет дать одно из возможных определений хаотического поведения:

Динамическая переменная х_п при больших п принимает значения, которые чрезвычайно сильно зависят от точного начального значения х₀.

Предположим, что имеется два начальных значения х₀ и х'_о, которые различаются на малое число ε и порождают две последовательности популяций х_п и х'_п , начинающиеся соответственно с х₀ и . Тогда после п шагов разница между ними увеличивается до значения .

Бифуркационная диаграмма, приведенная на рисунке 3.9, показывает изображение смены возможных динамических режимов системы (равновесных состояний, стационарных точек, периодических орбит и пр.) при изменении значения бифуркационного параметра (здесь параметр ).

Рисунок 3.9 – Бифуркационная диаграмма логистического уравнения,