Донбасская государственная машиностроительная академия

Кафедра автоматизации производственных процессов

Современные методы исследования систем Конспект лекций

(для студентов специальности “Автоматизированное управление технологическими процессами”, квалификационный уровень – магистр)

Краматорск 2012

УДК 519.8

Современные методы исследования систем. Конспект лекций (для студентов специальности “Автоматизированное управление технологическими процессами», квалификационный уровень – магистр). Сост. А.А.Сердюк. – Краматорск: ДГМА, 2012 – 99 с.

Обобщаются новые методы математического моделирования нелинейных динамических систем. На простых примерах пояснены механизмы возникновения динамического хаоса, изложены принципы фрактального подхода в моделировании хаотической динамики. Приведены последние научные и практические достижения в области моделирования нелинейных динамических систем.

Составитель А.А. Сердюк, доц.

Содержание

Введение 4

1 ПРОБЛЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 5

1.1 Проблемы моделирования нелинейной динамики 6

1.2 Проблема детерминизма 8

1.3 Особенности самоорганизующихся систем 12

2 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФРАКТАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ 16

2.1 Понятие о фракталах 16

2.2 Фрактальная размерность. Размерность Хаусдорфа-Безиковича 17

2.3 Принцип самоподобия фракталов 20

2.4 Классические фракталы 22

2.5 L-системы тертл-графики 26

2.6 Система итерированных функций 28

2.7 Фракталы на комплексной плоскости 30

2.8 Случайные фракталы 35

2.9 Методы определения фрактальной размерности временных рядов 40

2.10 Реально существующие фракталы 49

3 ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЙ ХАОС 55

3.1 Условия зарождения хаотической динамики 55

3.2 Парадигма хаоса – странный аттрактор Лоренца 57

3.3 Парадигма хаоса – логистическое уравнение 62

3.4 Качественные и количественные признаки хаоса 68

3.5 Практическое применение хаотической динамики 71

4 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ КАТАСТРОФ 79

4.1 Элементарные катастрофы 79

4.2 От аналитичности к гладкости функций 84

4.3 Регулярные и критические невырожденные точки гладких функций 88

4.4 Неморсовские функции. Функции катастроф 90

4.5 Отображения катастрофы и бифуркационные множества 92

4.6 Пример исследования бифуркационного поведения­

летательного аппарата 95

Литература 99

Введение

В дисциплине рассматриваются математические методы моделирования сложных динамических, прежде всего, нелинейных систем – количественное исследование систем, теория устойчивости, классификация бифуркаций, основы теории катастроф и др.

Ряд свойств динамических систем, таких, как неустойчивость, нелинейность, открытость, диссипация, порождают режимы, свойственные широкому классу сложных систем, начиная от механических, термодинамических, химических, и кончая живыми организмами. В первую очередь это хаотические режимы, которые сейчас принято считать характерными этапами развития любой достаточно сложной нелинейной системы.

Исследование и моделирование хаотических режимов представляет достаточно сложную задачу. Однако необычайно высокая восприимчивость систем, находящихся на этапе хаотического развития, дает ключ к пониманию резких скачкообразных переходов, определяет границы предсказуемости их поведения. Анализ сложных нелинейных систем позволяет также осознать конструктивную роль кризисов в развитии систем, позволяет найти наилучший стиль поведения или управления системой.

Дисциплина посвящена также изучению явления динамического хаоса. В ней демонстрируются универсальные свойства хаоса, в частности, сценарии возникновения хаотических режимов. Далее изучаются и более сложные модели: системы с перемешиванием, как диссипативные, так и консервативные. Формулируется язык описания хаотического поведения, в частности, геометрический язык фракталов.

Большинство изучаемых в дисциплине моделей являются классическими для разных естественнонаучных дисциплин. Однако их освещение с единой точки зрения приводит к общей концепции, которую, следуя Г. Хакену, можно назвать синергетической.