
- •Современные методы исследования систем Конспект лекций
- •1 Проблемы исследования нелинейных систем
- •1.1 Проблемы моделирования нелинейной динамики
- •1.2 Проблема детерминизма
- •1.3 Особенности самоорганизующихся систем
- •2 Основы теории фрактальной размерности
- •2.1 Понятие о фракталах
- •2.2 Фрактальная размерность. Размерность Хаусдорфа-Безиковича
- •2.3 Принцип самоподобия фракталов
- •2.4 Классические фракталы
- •2.6 Система итерированных функций
- •2.7 Фракталы на комплексной плоскости
- •2.8 Случайные фракталы
- •2.9 Методы определения фрактальной размерности временных рядов
- •2.10 Реально существующие фракталы
- •3 Детерминированный хаос
- •3.1 Условия зарождения хаотической динамики
- •3.2 Парадигма хаоса – странный аттрактор Лоренца
- •3.3 Парадигма хаоса – логистическое уравнение
- •3.4 Качественные и количественные признаки хаоса
- •3.5 Практическое применение хаотической динамики
- •Передача и защита информации
- •4 Введение в теорию катастроф
- •4.1 Элементарные катастрофы
- •4.2 От аналитичности к гладкости функций
- •4.3 Регулярные и критические невырожденные точки гладких функций
- •4.4 Неморсовские функции. Функции катастроф
- •4.5 Отображения катастрофы и бифуркационные множества
- •4.6 Пример исследования бифуркационного поведения летательного аппарата
Донбасская государственная машиностроительная академия
Кафедра автоматизации производственных процессов
Современные методы исследования систем Конспект лекций
(для студентов специальности “Автоматизированное управление технологическими процессами”, квалификационный уровень – магистр)
Краматорск 2012
УДК 519.8
Современные методы исследования систем. Конспект лекций (для студентов специальности “Автоматизированное управление технологическими процессами», квалификационный уровень – магистр). Сост. А.А.Сердюк. – Краматорск: ДГМА, 2012 – 99 с.
Обобщаются новые методы математического моделирования нелинейных динамических систем. На простых примерах пояснены механизмы возникновения динамического хаоса, изложены принципы фрактального подхода в моделировании хаотической динамики. Приведены последние научные и практические достижения в области моделирования нелинейных динамических систем.
Составитель А.А. Сердюк, доц.
Содержание
Введение 4
1 ПРОБЛЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 5
1.1 Проблемы моделирования нелинейной динамики 6
1.2 Проблема детерминизма 8
1.3 Особенности самоорганизующихся систем 12
2 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФРАКТАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ 16
2.1 Понятие о фракталах 16
2.2 Фрактальная размерность. Размерность Хаусдорфа-Безиковича 17
2.3 Принцип самоподобия фракталов 20
2.4 Классические фракталы 22
2.5 L-системы тертл-графики 26
2.6 Система итерированных функций 28
2.7 Фракталы на комплексной плоскости 30
2.8 Случайные фракталы 35
2.9 Методы определения фрактальной размерности временных рядов 40
2.10 Реально существующие фракталы 49
3 ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЙ ХАОС 55
3.1 Условия зарождения хаотической динамики 55
3.2 Парадигма хаоса – странный аттрактор Лоренца 57
3.3 Парадигма хаоса – логистическое уравнение 62
3.4 Качественные и количественные признаки хаоса 68
3.5 Практическое применение хаотической динамики 71
4 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ КАТАСТРОФ 79
4.1 Элементарные катастрофы 79
4.2 От аналитичности к гладкости функций 84
4.3 Регулярные и критические невырожденные точки гладких функций 88
4.4 Неморсовские функции. Функции катастроф 90
4.5 Отображения катастрофы и бифуркационные множества 92
4.6 Пример исследования бифуркационного поведения
летательного аппарата 95
Литература 99
Введение
В дисциплине рассматриваются математические методы моделирования сложных динамических, прежде всего, нелинейных систем – количественное исследование систем, теория устойчивости, классификация бифуркаций, основы теории катастроф и др.
Ряд свойств динамических систем, таких, как неустойчивость, нелинейность, открытость, диссипация, порождают режимы, свойственные широкому классу сложных систем, начиная от механических, термодинамических, химических, и кончая живыми организмами. В первую очередь это хаотические режимы, которые сейчас принято считать характерными этапами развития любой достаточно сложной нелинейной системы.
Исследование и моделирование хаотических режимов представляет достаточно сложную задачу. Однако необычайно высокая восприимчивость систем, находящихся на этапе хаотического развития, дает ключ к пониманию резких скачкообразных переходов, определяет границы предсказуемости их поведения. Анализ сложных нелинейных систем позволяет также осознать конструктивную роль кризисов в развитии систем, позволяет найти наилучший стиль поведения или управления системой.
Дисциплина посвящена также изучению явления динамического хаоса. В ней демонстрируются универсальные свойства хаоса, в частности, сценарии возникновения хаотических режимов. Далее изучаются и более сложные модели: системы с перемешиванием, как диссипативные, так и консервативные. Формулируется язык описания хаотического поведения, в частности, геометрический язык фракталов.
Большинство изучаемых в дисциплине моделей являются классическими для разных естественнонаучных дисциплин. Однако их освещение с единой точки зрения приводит к общей концепции, которую, следуя Г. Хакену, можно назвать синергетической.