3.2 Обработка результатов прямого измерения

Учитывая вышеизложенное, можно рекомендовать следующий алгоритм обработки результатов прямых измерений.

1. Из-за наличия погрешностей никогда не следует ограничиваться одиночным измерением, а всегда следует проводить несколько опытов желательно нечетное число (три, пять).

2. Определить наилучшее значение измеряемой величины х, как среднее арифметическое из всех результатов измерений: х₁, х₂ ... х_i ... х_n по формуле:

(11)

3. Вычислить случайную абсолютную ошибку каждого измерения по уравнению (3):

,

а затем среднюю абсолютную погрешность:

(12)

4. Определить приборную погрешность, используя паспортные данные прибора или, при их отсутствии, принять за погрешность половину наименьшего деления шкалы стрелочного прибора или наименьший разряд цифрового прибора.

5. Сравнить приборную и среднюю абсолютную погрешность, выбрать большую из них, приняв за полную погрешность результаты измерения.

Окончательный результат можно представить в виде: Это означает, что истинное значение лежит в интервале .

3.3 Отработка результатов косвенных измерений

3.3.1 Метод частных производных

Пусть интересующая нас величина y является некоторой функцией других величин x_l, x₂, x₃ и т.д., так что

у = ƒ(x_l, x₂, x₃...) (13)

причем величины x_l, x₂, x₃... мы можем измерять путем прямых измерений. В этом случае мы для определения величин и ∆ сначала измеряем все величины, от которых зависит у (x_l, x₂, x₃...) по методике, изложенной в предыдущем параграфе. В результате чего определяем , а также полные погрешности, в определении этих величин, которые обозначим как Наилучшее (среднее) значение косвенно определяемой величины у находится при подстановке в (13) наилучших (средних) значений

(14)

Для определения полной абсолютной погрешности величины у необходимо выяснить, как изменяется эта величина при относительно небольших изменениях всех величин, от которых зависит величина у. Это можно сделать с помощью полного дифференциала. Интересующее нас изменение величины

(15)

где - обозначают частные производные от функции f по соответствующим переменным. Эти частные производные вычисляются при наилучших (средних) значениях и т.д.

От бесконечно малых изменений величин dу, dx_l, dx₂, dx₃... в (15) перейдем к конечным значениям их изменений (погрешностям) ∆у, ∆x_l, ∆x₂, ∆x₃...

(16)

где ∆y- искомая полная погрешность величины - значения соответствующих частных производных, вычисленных при наилучших (средних) значениях входящих в них величин; ∆x_l, ∆x₂, ∆x₃... - полные погрешности определения соответствующих величин. Также необходимо в (16) заменить знаки '-' между слагаемыми на знаки '+', поскольку формула (16) является оценкой абсолютной погрешности по максимуму (по наихудшему случаю, когда все ошибки складываются).

Под частной производной функции ƒ(x, y, z) по переменной X понимают величину:

(17)

т.е. это производная, которая вычисляется в предположении, что все переменные, кроме той, по которой берется производная, являются постоянными величинами. Например: пусть . Тогда

После вычисления абсолютной ошибки ∆у по формуле (16) находят относительную ошибку как

(17)

Этот способ удобен в том случае, когда представляет собой алгебраическую сумму.