3 Погрешности измерений

По характеру проявления и причинам появления погрешности можно условно разделить на следующие классы: приборные, систематические, случайные, и промахи (грубые ошибки).

П р о м а х и обусловлены либо неисправностью прибора, либо нарушением методики или условий эксперимента, либо имеют субъективный характер. Практически они определяются как результаты резко отличающиеся от других. Для устранения их появления требуется соблюдать аккуратность и тщательность в работе с приборами. Результаты, содержащие промахи, необходимо исключать из рассмотрения ( отбрасывать).

Приборные погрешности. Если измерительный прибор исправен и отрегулирован, то на нем можно провести измерения с ограниченной точностью, определяемой типом прибора. Принято приборную погрешность стрелочного прибора считать равной половине наименьшего деления его шкалы. В приборах с цифровым отсчетом приборную ошибку приравнивают к величине одного наименьшего разряда шкалы прибора.

Систематические погрешности - это ошибки, величина и знак которых постоянны для всей серии измерений, проведенных одним и тем же методом и с помощью одних и тех же измерительных приборов.

При проведении измерений важен не только учет систематических ошибок, но необходимо также добиваться их исключения.

Систематические погрешности условно разделяются на четыре группы:

1. погрешности, природа которых известна и их величина может быть достаточно точно определена. Такой ошибкой является, например, изменение измеряемой массы в воздухе, которая зависит от температуры, влажности, давления воздуха и т.д.;

2. погрешности, природа которых известна, но неизвестна сама величина погрешности. К таким погрешностям относятся ошибки, обусловленные измерительным прибором: неисправность самого прибора, несоответствие шкалы нулевому значению, классу точности данного прибора;

3. погрешности, о существовании которых можно не подозревать, но величина их зачастую может быть значительной. Такие ошибки возникают чаще всего при сложных измерениях. Простым примером такой ошибки является измерение плотности некоторого образца, содержащего внутри полости;

4. погрешности, обусловленные особенностями самого объекта измерения. Например, при измерении электропроводности металла из последнего берут отрезок проволоки. Погрешности могут возникнуть, если имеется какой-либо дефект в материале - трещина, утолщение проволоки или неоднородность, меняющие его сопротивление.

Случайные погрешности - это ошибки, которые изменяются случайным образом по знаку и величине при идентичных условиях повторных измерений одной и той же величины.

3.1 Истинное значение измеряемой величины

Приведенные выше данные показывают, что, строго говоря, измерения абсолютно точно истинного значения любой величины невозможно в принципе. Поэтому более корректный способ представления результата любого измерения состоит в том, что экспериментатор указывает свою наилучшую оценку измеряемой величины, а также интервал, в котором, как он уверен, она лежит. Таким образом, задача экспериментатора состоит в том, чтобы уменьшить влияние погрешностей за счет правильной техники измерений, сделать правильную наилучшую оценку результата измерения и величины погрешности этого результата.

Рассмотрим случай, когда систематические ошибки отсутствуют, а имеют место лишь случайные погрешности. Предположим, что нами произведено n измерений некоторой величины х, при этом получены n значений этой величины х₁ х₂ х_i….х_n. Округлим эти величины с учетом приборной ошибки и расположим в порядке возрастания. Определим в полученном множестве значений количество повторов (выпадений) отдельных результатов - ∆n_i и вычислим вероятности их выпадения по формуле:

(6)

Полученные результаты также внесем в таблицу и построим на их основе график (рис.1) зависимости вероятности повторов отдельных результатов измерения от их величины - х_i, т.е. функцию .

P_max

х_i

х_в .

Рис. 1.

Из полученного рис.1 видно, что наиболее вероятным является некоторый результат х_i= х_в, которому соответствует максимальное значение вероятности выпадения P_max.

Если этот результат (х_в) принять за истинный, то абсолютную ошибку каждого измерения ∆х_i, можно найти из выражения: ∆х_i= х_i- х_в и более того истинный результат измерения, очевидно, должен удовлетворять условию:

∆х_i= х_i- х_в=0 (7)

В этом можно убедиться, рассчитав абсолютные ошибки всех измерений, числа повторов каждой ошибки ∆n₀ и вероятности выпадения ошибок

Затем построим зависимость вероятности выпадения результатов измерений P от (х_i-z) для трех значений z ( z<x_в, z=x_в, z>x_в). На рисунке 2 представлена эта зависимость, которая представляет собой туже зависимость P, что на рис.1. ( и получена из тех же результатов ), но сдвинутая на величину z влево по оси абсцисс. Ясно, что P имеет максимум при z=x_в в нуле, а при других значениях z максимум отличается от нуля.

Тогда , если рассмотреть функцию

где x_i – результат i-го измерения, n – число измерений, то о её свойствах можно сказать следующее. Функция y(x) всегда положительна, так как является суммой квадратов. Она имеет минимум при x=x_в, что следует из данных представленных на рис.2. Качественно функция y(x) изображена на рисунке 3.

Известно, что для нахождения экстремума функции необходимо приравнять нулю ее производную. Возьмем производную от функции (4) и приравняем её нулю.

Тогда получаем:

(10)

Таким образом, истинное значение наиболее близко находится к наиболее вероятному значению x_в, которое равно среднему арифметическому , получаемое от нескольких идентичных измерений.