3. Спектральный метод анализа линейных

ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Спектральный метод анализа электрических цепей основан на использовании понятий спектров воздействующих на вход цепи импульсов и частотных свойств цепей. Метод применяется при анализе процессов прохождения импульсов через усилители, четырёхполюсники, фильтры и другие устройства. При анализе допускается, чтобы импульс, пройдя через ЧТП, изменился по амплитуде, на некоторое время t₀ запоздал во времени, но не допускается, чтобы существенно изменилась форма импульса на выходе по сравнению с формой импульса на входе. Такое условие обусловлено тем, что именно в форме импульса заключена информация, которую он несёт.

Допустим, что на вход некоторого ЧТП с передаточной функцией

воздействует сигнал u₁(t), имеющий спектр

На выходе ЧТП появится сигнал u₂(t), спектр которого

(17.4)

Сигнал u₂(t) может отличаться от сигнала u₁(t) по амплитуде (например в а раз), может запаздывать во времени (например на интервал t₀), но по форме должен быть таким же, как и u₁(t). Учитывая оговоренные условия можем записать

Если к функции u₂(t) применить преобразование Фурье, то окажется, что её спектр будет равен

Действительно

Введём новую переменную t₁ = t – t₀. Тогда

(17.5)

Применяя (17.5) к левой части (17.4) получаем

Следовательно, для прохождения импульса через ЧТП без искажения формы необходимо, чтобы модуль его передаточной функции был постоянным (не зависел от частоты), а аргумент φ(ω) = -ω·t₀ линейно изменялся в функции частоты.

В реальных ЧТП эти условия могут быть выполнены лишь приближённо в некоторой полосе частот, которую называют полосой пропускания. Полоса пропускания ограничена значением ω_в, при котором максимальное значение К(ω) уменьшается в раз. Проходя через такой ЧТП импульс в какой-то степени искажается. Определить степень искажения можно применением прямого и обратного преобразования Фурье. Для этого необходимо:

– найти спектр входного сигнала u₁(t);

– определить передаточную функцию ЧТП ;

– получить спектр выходного сигнала ;

– определить u₂(t) по S_вых(jω).

Последнюю операцию можно выполнить с помощью формулы (16.13).

4. Резонансные явления при несинусоидальных

ТОКАХ

Если воздействующая Э.Д.С. несинусоидальна, то это эквивалентно воздействию гаммы гармоник, кратных первой. В этих условиях в электрической цепи могут возникать резонансы токов или напряжений как на первой, так и на высших гармониках.

Условимся под резонансом на k-гармонике понимать такой режим работы, при котором ток и Э.Д.С. k-гармоники на входе цепи совпадают по фазе. При этом токи остальных гармоник могут не совпадать по фазе с вызвавшими их Э.Д.С.

Если учитывать активные сопротивления катушек индуктивности, то условие возникновения резонанса для какой-либо гармоники заключается в том, что реактивная составляющая входного сопротивления для этой гармоники должна быть равна нулю.

Исследования резонансных явлений при несинусоидальных токах часто производят, полагая активные сопротивления индуктивных катушек равными нулю. В таком случае входное сопротивление при резонансе токов равно бесконечности, а при резонансе напряжений равно нулю.

При возникновении резонансного и близкого к нему режима на какой-либо высшей гармонике токи (или напряжения) этой гармоники могут оказаться больше, чем токи (или напряжения) первой гармоники.

Пример. В схеме рис. 17.2 задана индуктивность L₂.

Полагая активное сопротивление индуктивности равным нулю, найти, при каких значениях емкостей С₁ и С₂ входное сопротивление схемы для первой гармоники равно нулю, а для девятой гармоники равно бесконечности.

Решение. Запишем выражение входного сопротивления схемы для первой гармоники и приравняем его нулю:

Входное сопротивление для девятой гармоники приравняем бесконечности:

Совместное решение полученных выражений дает следующие результаты: