2. Характеристики фильтров нижних частот

Так как идеальные АЧХ фильтров (рис. 29.1) физически не реализуемы, то в основу теории их построения положен поиск таких форм АЧХ, которые с одной стороны отвечали бы требованиям по селекции сигналов, а с другой, были бы реализуемы. Это задача аппроксимации. При её решении всегда приходится принимать компромисс между степенью приближения к идеальной характеристике и приемлемой сложностью реализации фильтра.

Исследованиями доказано, что АЧХ фильтра НЧ может быть реализована, если она определяется выражением

(29.1)

где – вещественные коэффициенты, не равные нулю.

При решении задачи аппроксимации удобно работать с нормированной АЧХ, в которую входит нормированное значение частоты

где – некоторое заданное значение (частота среза).

Нормированная АЧХ принимает вид

. (29.2)

При лестничной реализации LC-фильтр НЧ имеет вид как на рис. 29.3. Количество реактивных элементов фильтра равно его порядку, т. е. числу коэффициентов полинома n в знаменателе передаточной функции (29.2).

Используя предельные частоты, можно качественно показать, что на рис. 29.3, а представлен ФНЧ. Пусть ω = 0. Тогда схема замещения фильтра имеет вид рис. 29.3, б. При ω→∞ схема принимает вид рис. 29.3, в.

Действительно, фильтр НЧ пропускает на выход сигналы низких частот и задерживает сигналы высоких частот.

Вернёмся к выражению (29.2). Форма АЧХ зависит от значения и числа коэффициентов . Очевидно, что чем больше n тем точнее выражение (29.1) описывает АЧХ идеального фильтра НЧ. Однако схема фильтра усложняется пропорционально n.

Наиболее проработаны два типа аппроксимации:

– аппроксимация по Тейлору;

– аппроксимация по Чебышеву.

При аппроксимации по Тейлору АЧХ идеального фильтра требуется, чтобы в точке Ω = 0 функция (29.2) обращалась в единицу, а все её (2n – 1) производных обращались бы в нуль. Чтобы вершина АЧХ физически реализуемого фильтра НЧ была максимально плоской, необходимо обеспечить значение , а значения всех остальных коэффициентов равными нулю. Тогда выражение (29.2) принимает вид

. (29.3)

Фильтр, реализующий АЧХ вида (29.3) называют фильтром Баттерворта. Амплитудно - частотная характеристика ФНЧ Баттерворта для различных значений n приведена на рис. 29.4, а.

Важной и широко распространённой оценкой фильтров является затухание, которое он вносит в пределах полосы пропускания и вне её. Характеристика затухания определяется как функция обратная АЧХ, измеряется в децибелах и представляется выражением

. (29.4)

График характеристики затухания ФНЧ Баттерворта приведён на рис. 29.4, б.

Характеристика затухания (рис. 29.4, б) позволяет определить:

– полосу пропускания (ПП) ФНЧ, как полосу частот от Ω = 0 до Ω = 1;

– допустимое затухание ∆а в полосе пропускания;

– частоту среза ФНЧ, как частоту Ω = 1;

– полосу задержания (ПЗ), как полосу частот от Ω = Ω_k до Ω = ∞, в пределах которой затухание не ниже гарантированного – а_k;

– граничную частоту Ω_k, как частоту, на которой затухание достигает значения а_k;

– полосу перехода (ППер), как полосу частот от Ω = 1 до Ω = Ω_k.

У фильтра Баттерворта затухание в полосе пропускания монотонно возрастает и на частоте среза Ω = 1 достигает значения ∆а_мах = 3 дБ. При увеличении частоты сигнала относительно частоты среза в n раз затухание увеличивается на 6·n дБ.

Аппроксимация по Чебышеву даёт наилучшее приближение аппроксимирующей функции к идеальной АЧХ фильтра НЧ. Окончательное выражение нормированной характеристики затухания фильтра НЧ Чебышева имеет вид

, (29.5)

где – полином Чебышева степени n, ∆а – допустимая неравномерность затухания в полосе пропускания.

Схемная реализация ФНЧ Чебышева такая же, как и ФНЧ Баттерворта. Отличие заключается только в численном значении номиналов реактивных элементов фильтра. Графики характеристик затухания фильтров Чебышева четвёртого и пятого порядков показаны на рис. 29.5.

Затухание в полосе пропускания фильтров Чебышева волнообразное. Это их недостаток. Такие характеристики называют равноволновыми. Длина волны не постоянна и при приближении к частоте среза уменьшается.

По фильтрующим свойствам фильтр Чебышева лучше фильтра Баттерворта. При одинаковых основных параметрах фильтр Чебышева имеет меньшую ширину полосы перехода.

При построении фильтра стремятся полосу перехода сделать как можно уже. Сужение полосы перехода сопровождается увеличением порядка фильтра и связано с большим расходом элементов и дополнительными потерями энергии сигнала.

С целью сужения полосы перехода при минимальном порядке применяются ФНЧ со всплесками затухания. Проведём качественный анализ этих фильтров.

Для примера в качестве исходного возьмём фильтр Баттерворта пятого порядка (рис. 29.6, а), характеристика которого приведена на рис. 29.6, б. Допустим, что полоса перехода этого фильтра не удовлетворяет предъявленным требованиям. Её необходимо сделать уже.

Для решения задачи надо так изменить схему фильтра, чтобы на некоторой частоте , удовлетворяющей условию , затухание фильтра устремилось в бесконечность. При этом кривая затухания фильтра в полосе перехода пойдёт круче. Этого можно достигнуть, если в продольную ветвь фильтра вместо индуктивности включить параллельный колебательный контур (рис. 29.7, а) или в поперечную ветвь вместо ёмкости включить последовательный контур (рис. 29.7, б). Характеристика затухания будет иметь вид, представленный на рис. 29.7, в.

Варьируя числом и расположением всплесков затухания ФНЧ, его порядком, можно выполнить требования к характеристике затухания при минимально необходимом числе элементов.

Аналогично можно построить ФНЧ Чебышева со всплесками затухания. Такие фильтры получили название ФНЧ Золотарёва.