1.2. Основные уравнения длинной линии
При синусоидальном напряжении источника питания напряжение и ток в линии на любом расстоянии х от ее начала изменяются во времени. Вместе с тем напряжение и ток изменяются вдоль линии. Установившийся режим в длинной линии представляется довольно сложной пространственно-временной картиной, для изучения которой необходимо получить аналитическую зависимость напряжения и тока от двух независимых переменных — времени и расстояния.
Решить такую задачу, можно используя схему замещения однородной линии (см. рис. 28.2). На схеме обозначены параметры некоторого элемента длины линии dx, а также напряжение и ток в начале и конце этого элемента.
Падение напряжения в элементе длины линии dx определим как разность
Разность токов в начале и конце того же элемента равна сумме тока утечки и емкостного тока:
Из этих выражений получают дифференциальные уравнения однородной линии, в которые входят комплексы токов и напряжений, изменяющихся во времени по синусоидальному закону, а также их производные по переменной координате х:
(28.1)
где
–
полное
сопротивление единицы длины линии
(определяется продольными параметрами
линии); Y0
=
G0
+ j
C0
–
полная проводимость единицы длины линии
(определяется поперечными параметрами
линии).
Продольные R0, L0 и поперечные G0, C0 параметры линии характеризуют совершенно различные физические явления, поэтому между собой не связаны.
Далее можно составить уравнения, которые отражают изменение напряжения и тока по длине линии. Для этого дифференцируем по х уравнения (28.1):
Учитывая выражения (28.1), получим линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
(28.2)
Решением первого уравнения из (28.2) является выражение
(28.3)
Уравнение тока получим из (28.1) и (28.3):
(28.4)
1.3.Характеристики длинной линии
В выражениях (28.3) и (28.4) А1 и А2 – постоянные коэффициенты, определяемые условиями в начале или конце линии; γ – коэффициент распространения электромагнитной волны по линии (коэффициенты выражаются комплексными числами):
.
(28.5)
Учитывая формулу (28.5), запишем другое уравнение тока:
,
или
(28.6)
где величина
(28.7)
имеет размерность сопротивления и называется волновым сопротивлением линии.
Постоянные
коэффициенты А1
и
А2
нетрудно найти, если известен режим в
начале линии, т.е. даны
и
.
Из уравнений (28.3) и (28.6) при х= 0 получим:
.
Отсюда
.
(28.8)
Отношение комплекса напряжения к комплексу тока в начале линии называется входным сопротивлением линии. Входное сопротивление линии при нагрузке Z2 можно определить через входные сопротивления при холостом ходе ZХ и коротком замыкании ZК:
.
(28.9)
Коэффициент распространения электромагнитной волны γ как комплексную величину можно представить в алгебраической форме γ = δ + jβ. Этот коэффициент, имея два слагаемых, характеризует две стороны электромагнитного процесса в линии: затухание амплитуд и изменение фазы напряжения и тока в зависимости от расстояния х (от начала линии). В соответствии с этим действительная часть комплекса – δ называется коэффициентом затухания, а мнимая часть – коэффициентом фазы. Коэффициент затухания δ показывает степень затухания амплитуды колебаний при распространении волны на единицу длины.
На рис. 28.4 показан график распределения напряжения вдоль линии в некоторый фиксированный момент времени. Из графика видно, что напряжение вдоль линии распределено по синусоидальному закону, а амплитуда затухает по экспоненциальному закону в направлении от начала к концу линии.
