6. Дельта-функция, единичная функция

Д ельта-функцией , или единичным импульсом (рис.27.7, а), называют прямоугольный импульс амплитудой и длительностью при стремлении к нулю. Единичным импульс называют потому, что его площадь равна единице:

.

Размерность равна с^-1.

Единичной функцией (рис.27.7, б) называют функцию, равную единице при t > 0 и равную нулю при t < 0. Единичная функция 1(-t) (рис. 27.7, в) равна нулю при t > 0 и единице при t < 0. Функции и 1(-t) имеют нулевую размерность.

Свойства :

1. из определения следует, что

2) производная функции равна , т. е.

3) -функция обладает фильтрующим действием т. е.

4) изображение по Лапласу -функции равно единице, т. е.

.

Единичные функции и также обладают фильтрующим свойством. Умножение произвольной функции f(t) на обращает произведение в нуль при t < 0. Аналогично,

Импульсное (игольчатое) напряжение или ток в виде -функции записывают в виде . Здесь единица имеет размерность В·с или А·с соответственно.

Тема IX. Длинные линии лекция 28. Линии с распределенными параметрами

Каждый элемент электрической цепи (резистор, катушка, конденсатор) имеет конечные размеры, и его можно представить как совокупность малых однородных частей, в которых совершаются интересующие нас электромагнитные процессы — преобразование энергии в теплоту, накопление энергии в магнитном и электрических полях. Иначе говоря, все устройства имеют распределенные параметры — сопротивление, индуктивность, емкость.

При изучении электрических цепей до сих пор мы не учитывали размеры устройств, предполагая, что параметры R, L, С сосредоточены, т.е. представляли в расчетной схеме каждый элемент в целом.

Такой подход к анализу электрических цепей принимают тогда, когда рассматривают и изучают внешние связи между элементами. В тех случаях, когда требуется выявить соотношения внутри устройства, соответствующий элемент рассматривается как объект с распределенными параметрами. Таким объектом может быть обмотка электрической машины, трансформатора, антенна радиотехнического устройства и др.

Электрическая цепь с распределенными параметрами — это цепь, в которой сопротивления, проводимости, индуктивности и емкости распределены вдоль цепи. Наглядным примером цепи с распределенными параметрами является электрическая длинная линия.

1. Уравнения длинной линии

Длинные линии строят для передачи электрической энергии, для электросвязи (передачи информации). Их рассматривают как объекты с распределенными параметрами при низких частотах и длине в десятки и сотни километров.

В радиотехнике при высоких частотах распределение параметров по длине учитывают в более коротких участках проводов (единицы и доли метра), например в антеннах.

1.1. Схемы замещения длинных линий

Н а рис. 28.1 изображена схема электрической цепи, состоящей из источника и приемника электрической энергии, связанных двухпроводной линией. Эту цепь можно рассматривать неразветвленной, с одинаковым током во всех ее элементах, если не учитывать двух обстоятельств: скорость распространения электромагнитных возмущений конечна; имеются токи, обусловленные емкостью между проводами (емкостный ток) и проводимостью изоляции (ток утечки через изоляцию).

В ряде случаев первое обстоятельство можно не учитывать, так как скорость распространения электромагнитных возмущений действительно велика (в вакууме равна скорости света).

Относительно второго обстоятельства следует учитывать, что емкостные токи и токи утечки пропорциональны напряжению между проводами; кроме того, емкостный ток увеличивается с ростом частоты, так как уменьшается емкостное сопротивление. Поэтому при высоком напряжении или большой частоте, а также при большой длине линии емкостные токи и токи утечки становятся значительными по величине и их нельзя исключить из расчета.

Токи между проводами существуют на сколь угодно малом отрезке линии, поэтому ток в проводах уменьшается по мере удаления от начала линии.

Напряжение между проводами вдоль линии тоже неодинаково. Оно уменьшается в направлении от начала к концу линии, так как растет падение напряжения, обусловленное активным и индуктивным сопротивлениями проводов.

Схема замещения линии, учитывающая приведенные обстоятельства, приведена на рис. 28.2. На схеме замещения бесконечно малый участок двухпроводной линии длиной dx представлен ячейкой с активным сопротивление прямого и обратного проводов R₀dx, индуктивностью L₀dx, проводимостью G₀dx и емкостью между проводами C₀dx. Вся линия изображается электрической схемой последовательно соединенных ячеек. Активное сопротивление, индуктивность, проводимость и емкость считают равномерно распределенными вдоль линий, a R₀, L₀, G₀, C₀ — значения этих параметров на единицу длины.

Линия с равномерным распределением параметров называется однородной. Реальные линии можно считать однородными лишь приближенно, так как их параметры распределены неравномерно. Например, проводимость воздушной линии сосредоточена в основном на опорах, а благодаря провесу проводов емкость по отношению к земле вдоль пролета неодинакова.

В зависимости от целей и требуемой точности расчета можно учитывать все четыре параметра или некоторые из них. Так, при рассмотрении линии электропередачи напряжением до 35 кВ и при частоте 50 Гц часто не учитывают емкостные токи и токи утечки, т. е. считают равными нулю параметры С₀ и G₀.

При высокой частоте (например, в радиотехнических устройствах) или при коротких импульсах напряжения в линиях, возникающих от грозовых разрядов, емкостные токи между проводами могут быть сравнительно большими и ими пренебрегать нельзя.

Вместе с тем при высокой частоте и малой длине линии в отдельных случаях можно пренебречь активным сопротивлением R₀ и проводимостью С₀.

При таком упрощении получается линия без потерь, схема замещения которой показана на рис. 28.3.