2. Законы электрических цепей в

ОПЕРАТОРНОЙ ФОРМЕ

2.1. Закон Ома

Д ля вывода формулы закона в операторной форме воспользуемся участком схемы сложной разветвленной электрической цепи приведенной на рис. 25.4.

Между узлами а и b этой цепи включена ветвь, содержащая R, L, C и источник Э.Д.С. e(t). Замыкание ключа К в схеме приводит к переходному процессу. До коммутации ток i = i(0_-) u = u(0_-). Для выделенного участка справедливо равенство

(25.18)

Применим к (25.18) преобразование Лапласа, используя (25.12), (25.15) и (25.17). Тогда получим

. (25.19)

Из выражения (25.19) следует, что

(25.20)

где – операторное сопротивление участка цепи между точками а и b.

Выражение (25.20) представляет закон Ома для участка цепи с Э.Д.С. при ненулевых начальных условиях. Этому выражению соответствует операторная схема замещения (рис. 25.5) участка цепи рис 25.4.

Как следует из (25.20), внутренняя Э.Д.С. направлена согласно с направлением тока I(p), а внутренняя Э.Д.С. – встречно.

В частном случае, когда на участке ab отсутствует Э.Д.С., а к моменту коммутации в цепи нулевые начальные условия, выражение (25.20) принимает вид

(25.21)

2.2. Первый закон Кирхгофа в операторной форме

По первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю. Так, для узла а схемы рис. 25.4

i + i₁ + i₂ = 0. (25.22)

Применим преобразование Лапласа к уравнению (25.22) и воспользуемся тем, что изображение суммы равно сумме изображений. Тогда получим

.

В общем случае

. (25.23)

Уравнение (25.23) выражает собой первый закон Кирхгофа в операторной форме.

2.3. Второй закон Кирхгофа в операторной форме

В любом замкнутом контуре сумма падений напряжений равна сумме Э.Д.С. Для выражения этого закона в операторной форме достаточно применить операторные изображения следующих напряжений и Э.Д.С.:

Тогда второй закон Кирхгофа в операторной форме примет вид:

(25.24)

3. Последовательность расчета

В ОПЕРАТОРНОМ МЕТОДЕ

Расчет переходных процессов операторным методом состоит из двух основных этапов:

1. составление уравнений для изображения искомой функции времени;

2. переход от изображения к функции времени.

3.1. Составление уравнений для изображения искомой

функции времени

Уравнения для изображений по форме аналогичны уравнениям, составленным для той же цепи с помощью символического метода. При составлении уравнений можно применять все основанные на законах Кирхгофа приемы и методы. Ненулевые начальные условия учитывают введением «внутренних» Э.Д.С., обусловленных начальными токами через индуктивности и начальными напряжениями на емкостях. Рассмотрим несколько примеров.

П ример 1. В схеме рис. 25.6 при нулевых начальных условиях включается ключ. Составить операторные изображения токов i₁ и i₃ , пользуясь методом контурных токов.

Решение. Направления контурных токов i₁₁ и i₂₂ показаны на схеме. Система уравнений для мгновенных значений токов и напряжений имеет вид:

Переходим к изображениям:

Совместное решение двух уравнений с двумя неизвестными имеет вид:

(25.25)

(25.26)

Изображение контурного тока I₁₁(p) равно изображению тока I₁(p); изображение контурного тока I₂₂(p) равно изображению тока I₃(p). В (25.5) и (25.26) Е(р) – изображение Э.Д.С. e(t). Если e(t) = Е, то Е(р)=Е/p; если

,

то

.

Пример 2. Составить изображение токов i₁ и i₃ , пользуясь законами Ома и Кирхгофа.

Решение. Согласно закону Ома

где Z_вх(р) – входное сопротивление схемы в операторной форме по отношению к зажимам ab. Оно определяется так же, как и входное сопротивление для переменного тока, только заменено на р.

Входное сопротивление

Следовательно,

.

Полученное уравнение совпадает с (25.25). Ток I₃(p) найдем воспользовавшись формулой деления токов.

.

Если в последнее выражение подставить значение I₁(p), то получим (25.26).

Таким образом, безразлично, каким способом составлять изображение токов. Результат будет одинаков.

П ример 3. Для схемы рис. 25.7 составить изображение напряжения на зажимах cd, если считать, что начальные условия нулевые.

Решение. Изображение напряжения на зажимах cd равно произведению тока I₃(p) на операторное сопротивление конденсатора: