1.5. Изображение напряжения на активном сопротивлении

Напомним, что в преобразовании Лапласа функцию времени (ток, напряжение, Э.Д.С., заряд) обозначают f(t) и называют оригиналом. Этой функции соответствует функция F(p), которую называют изображением.

Соответствие между функциями F(p) и f(t) записывают по (25.2):

^.

^{Следовательно, правомочны соответствия}

^.

^{На рис. 25.1, а приведена схема участка цепи с активным сопротивлением.}

^{О ператорная схема замещения этого участка имеет вид рис. 25.1, б. Для этого участка цепи связь между операторными напряжением и током записывается в виде}

^{. (25.12)}

1.6. Изображение напряжения на индуктивности

Изображение тока i равно I(p). Исходное выражение для напряжения на индуктивности имеет вид Чтобы получить изображение этого выражения используем (25.9):

^,

где i(0) – значение тока i при t = 0.

Следовательно,

^{. (25.13)}

Если i(0) = 0, то

^(25.14)

или

. (25.15)

Участок цепи с индуктивностью при ненулевых начальных условиях и его операторные схемы замещения приведены на рис. 25.2, а, б и в соответственно.

В операторной схеме для индуктивности с ненулевыми начальными условиями возникают дополнительные источники Э.Д.С. Li(0) или тока , которые называются внутренними. Они обусловлены тем, что в магнитном поле катушки в момент коммутации была запасена энергия. Таким образом, начальные условия автоматически учитываются при переходе от интегро-дифференциальных уравнений к алгебраическим.

1.7. Изображение напряжения на конденсаторе

Напряжение на конденсаторе u_C часто записывают в виде , где не указаны пределы интегрирования. Более полной является следующая запись:

. (25.16)

В (25.16) учтено, что к моменту времени t напряжение на конденсаторе определяется не только током, протекающим через него в интервале от 0 до t, но и тем напряжением u_C(0), которое было на нем при t = 0. В соответствии с формулой (25.11) изображение равно , а изображение постоянной u_C(0) есть постоянная, деленная на p (25.4). Поэтому изображение напряжения на конденсаторе записывают следующим образом:

^(25.17)

Схемы замещения участка цепи с емкостью (рис. 25.3, а) при ненулевых начальных условиях изображены на рис. 25.3, а и б.

В операторной схеме для емкости с ненулевыми начальными условиями возникают дополнительные источники Э.Д.С. или тока Сu_C(0), которые называются внутренними. Они обусловлены тем, что в электрическом поле конденсатора в момент коммутации была запасена энергия. Таким образом, начальные условия автоматически учитываются при переходе от интегро-дифференциальных уравнений к алгебраическим.

1.8. Операторные функции электрических цепей

Операторной функцией цепи называется отношение изображения по Лапласу выходной величины Y_вых(р) к изображению входной Х_вх(р) при нулевых начальных условиях, т. е.

Операторная функция зависит только от параметров цепи и ее схемы. Для расчета операторных функций можно применять все методы расчета комплексных функций

т. е. комплексная функция является частным случаем операторной при замене оператора р на переменную jω.

По известной операторной функции цепи К(р) и операторному изображению воздействия Х_вх (р) можно найти реакцию цепи Y_вых(р) на это воздействие

По расположению полюсов операторной функции можно судить о характере переходного процесса:

– если все полюсы расположены только на отрицательной вещественной полуоси, то переходной процесс в цепи носит апериодический характер;

– если имеются сопряженные полюсы в левой полуплоскости, то переходный процесс носит характер затухающих колебаний;

– если все полюсы расположены на мнимой оси, то переходной процесс в цепи носит характер незатухающих колебаний.

Простейшие операторные соотношения и иллюстрация сформулированных соответствий приведены в таблице 25.1.

Таблица 25.1

№№ п/п	О Р И Г И Н А Л f(t)	Изображение F(p)	Расположение нулей и полюсов F(p)	Г Р А Ф И К f(t)
1	2	3	4	5
1	А
2
3
4
5
6
1	2	3	4	5
7
8
9
10	; ;
11	;
12
1	2	3	4	5
13
14
15

ПРИМЕЧАНИЯ:

1. При построении графика предполагалось, что: .

2. Обозначения: - полюс функции

0. - нуль функции

(п) – кратность полюса (нуля)