Лекция 25. Операторный метод анализа переходных процессов

1. Введение к операторному методу

Операторный метод широко применяется для решения дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений. Сущность этого метода заключается в том, что функции вещественного переменного t преобразуются в функции комплексного переменного р = а + jb и наоборот с помощью прямого и обратного преобразования Лапласа. Операторный метод позволяет свести операцию дифференцирования к умножению, а операцию интегрирования – к делению.

В преобразовании Лапласа функцию времени (ток, напряжение, Э.Д.С., заряд) обозначают f(t) и называют оригиналом. Этой функции соответствует функция F(p), которую называют изображением и определяют выражением

. (25.1)

Соответствие между функциями F(p) и f(t) записывают так:

^(25.2)

В (25.2) знак называют знаком соответствия.

Обратный переход от функции комплексного переменного р к функции вещественного переменного t осуществляется на основании обратного преобразования Лапласа

(25.3)

Чтобы функция f(t) имела изображение (25.1), необходимо, чтобы она:

– удовлетворяла условиям Дирихле;

– была равна нулю для отрицательных значений t;

– в интервале t от 0 до ∞ не возрастала бы быстрее, чем модуль функции е^pt, равный е^at.

Практически все функции f(t), с которыми имеют дело электрики, удовлетворяют этим условиям.

Найдем изображение некоторых простейших функций.

1. 1.1. Изображение постоянной

Найдем изображение функции f(t) = A, где А – постоянная величина. Для этого в (25 1) вместо f(t) подставим А и проведем интегрирование:

Следовательно, изображение постоянной равно этой же постоянной, но деленной на р:

^{. (25.4)}

1.2. Изображение показательной функции

Пусть . Тогда, в соответствии с (25.1) имеем:

Таким образом

(25.5)

Из формулы (25.5) вытекает ряд важных следствий.

1. Положив ,получим

^(25.6)

2. Если умножим обе части (25.6) на постоянное число или , то получим

^(25.7)

или

^(25.8)

3. Функции соответствует изображение , т. е.

^{. (25.9)}

1.3. Изображение первой производной

Найдем изображение первой производной , если известно, что значение функции f(t) при t = 0 равно f(0):

Интегрирование проведем по частям, обозначив и . Тогда

.

Подставляя значение u и получим:

.

Так как

,

а

,

то

Таким образом,

^(25.10)

1.4. Изображение интеграла

Найдем изображение функции , если известно, что изображение функции f(t) равно F(p).

Применяем к функции преобразование Лапласа:

Примем

и возьмем интеграл по частям:

Первое слагаемое правой части последнего выражения при подстановке верхнего предела обращается в нуль, так как в интервале t от 0 до ∞ функция f(t) не может возрастать быстрее, чем модуль функции е^pt, равный е^at. При подстановке нижнего предела в нуль обращается . Следовательно, если _{, то}

^(25.11)